金融数学引论答案第一章__北京大学出版[1].doc

第一章习题答案1.解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t2 + 2t + 3）/3In = A(n) A(n 1)= (n2 + 2n + 3) (n 1)2 + 2(n 1) + 3)= 2n + 12. 解: (2) 3.解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72 a = 0.08, b = 1 A(5) = 100A(10) = A(0) a(10) = A(5) a(10)/a(5)= 100 3 = 300.4. 解：(1)i5 =(A(5) A(4)/A(4)=5120 4.17%i10 =(A(10) A(9)/A(9)=5145 3.45%(2)i5 =(A(5) A(4)/A(4)5.解:A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7)= 1000 1.05 1.06 1.07= 1190.916.解: 设年单利率为i500(1 + 2.5i) = 615解得i = 9.2%设500 元需要累积t 年500(1 + t 7.8%) = 630解得t = 3 年4 个月7.解: 设经过t 年后，年利率达到2.5% t 36.3678. 解:(1 + i)11 = (1 + i)5+2*3 = XY 39. 解: 设实利率为i600(1 + i)2 1 = 264解得i = 20% A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元10.解: 设实利率为i解得(1 + i)-n =所以(1 + i)2n = 11.解:由500(1 + i)30 = 4000 (1 + i)30 = 8于是PV = = 1000 = 3281.2512解:(1 + i)a = 2 (1)(1 + i)b = (2)(1 + i)c = 5 (3)(1 + i)n = (4)(4) n ln (1 + i) = ln 5 ln 3(3) ln 5 = c ln (1 + i)(1) (2) ln 3 = (a + b) ln (1 + i)故n = c (a + b)13.解:A i = 336A d = 300i d = i d A = 280014.解: (1)d5 = 6.67% (2)a-1(t) = 1 0.1t a(t) = d5 = 16.67%15.解:由由16.解: (1) 终值为100 (1 + i(4)/4 )4*2 = 112.65元(2) 终值为100 (1 4d( 1/4 )1/4 -2 = 114.71元17.解: 利用1/d(m) 1/i(m) = 1/m m = 818. 解:aA(t) = 1 + 0.1t A(t) 由A(t) = B(t)得t = 519.解: 依题意，累积函数为a(t) = at2 + bt + 1a(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025a(1) = a + b + 1 = 1.07a = 0.04b = 0.03于是0.5 =20.解: 依题意，A(t) =, 由 t 121解：，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。_全部采用复利：前两年用复利： 22解： 设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程解得X = 504.67 元23解： 对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：所以24解：解得： t = 36 年25解： 列价值方程为解得n = 6.2526解：，得基金B的积累函数为欲使则解得t = 1.427解： 1000(1 + i)15 = 3000则28解： 列价值方程为解得i = 11.96%29解： 则积累函数为由a(10) = 2 得解得k = 0.013930解：(1 + i)3 + (1 i)3 = 2.0096解得i = 0.0431.解： 一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收入j + j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。32.解： 设半年实利率为，则有：解得:故：33.解： 价值方程：正常: 转让: 解得：j = 6.98%, k = 7.4%从而:j k34.解： 和等价的年利率,年利率变化：和等价的年贴现率, 年贴现率变化：35证明：证：36.解: 设货款为S,半年实利率为,则有：解得：故37解： 1)单利方式：X1(1 + (1 t)i) = 12)复利方式：X2(1 + i)1-t = 13)单利方式：由Taylor展开易证：38解： 设基金A,B的本金为A,B解得： 从而5年底的累积值和=1405.6139解: 设第二年的实利率i2,由题意：i1 = d2 = 从而：解得：i2 = 0.1，进而i1 = 40.解： 3）即波动范围：95238.095 453.5141解： 2) 令y = ln(1 + j)/m,则原式化为：由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证。第二章习题答案1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解：2价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解： 设首次付款为X ，则有解得X = 1489.363设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i = 1。试计算该年金的现值。解：4解： 则5已知：。计算i。解：解得i = 6.0%6.证明：证明：7已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：8某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解： 设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日解得X = 8101.659已知贴现率为10%，计算。解： d = 10%，则10.求证：并给出两等式的实际解释。证明： (1)所以 (2)所以12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV = 100a49】1.5% 100a 21.5% = 3256.88AV = 100s491.5% 100s21.5% = 6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B在第110年和第2130年中每年付款金额为Y ，在第1120年中没有。已知：，计算Y 。解： 因两种年金价值相等，则有所以14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。解： 由题意知，解得i = 8.33%15.已知。求X，Y和Z。解： 由题意得解得X = 4, Y = 7,Z = 416.化简解：17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解： 年金在4月1日的价值为P = (1+4.5%)/4.5% 2000 = 46444.44 ，则18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。解： 设递延时间为t，有解得19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。解： 设年实利率为i，由两年金的现值相等，有解得20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算。解： 设遗产为，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为，而D得到遗产的现值为vn。由题意得所以21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49，求B与D的份额之比。解： 由题意知那么22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。解：解得n = 17列价值方程解得X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。解： 两年金现值相等，则，可知由题意， 解得n = 924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。解： 由题意可得方程100a60p1% = 6000(1 + i)k解得k = 2925.已知，求i。解： 由题意得解得i = 9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K 。解： 由题意可得价值方程28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）解：31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。解： 设年实利率为i，则(1 + 2%)2 = 1 + i。有题意得解得R = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解： 由题意知解得i = 20%35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。解： 由题意得解得R = 1.9536.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。解： 设贴现率为d，则设递延时间为t，由题意得解得37. 计算：计算i 。解：解得：39.已知：。求的表达式。解：40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解： 第一种年金的现值为第二种年金的现值为，则所以41.已知： = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解： 设季度实利率为i。因，则所以42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解： 设年实利率为i，则设基金可维持t年，由两现值相等得解得t = 2843.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。解： 由题意： 解得:PV = 6644.给出现值表达式所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。解： 年金序列：A + nB,A + (n 1)B, . . . ,A + 2B,A + B所求为45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率为16。若记： ，试用A表示这个年金的现值。解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：47. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金. . .。从而48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。证明其现值为：元证： 首先把一年四次的付款折到年初：从而每年初当年的年金现值：元再贴现到开始时：元49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3，年利率8，计算现值。解： 半年的实利率：50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为：证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12,R = 500m = 6000 从而每年初当年的年金现值：贴现到当前：51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三个k 年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。解： 把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n = 0, 1, 2, ):每个年金的值为在分散在每个k年的区段里：再按标准永久年金求现值：v52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, 的现值。计算贴现率。解： 由题意： 解得：i = 0.05即：53. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4 = 0.75，计算现值。与原答案有出入解： (期初年金) (期末年金)54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t，年利率i，如果：0 k i ，计算该年金现值。与原答案有出入解： 由于0