高考数学试题与教科书的链接方式初探.doc

高考数学试题与教科书的链接方式初探成都市龙泉驿区华川中学校 刘星伟（一）以教科书内容为基础，以高等数学知识为背景实现链接中学所学数学知识是相关数学分支体系中最为基础部分，如果运用类比等思维方式进行延伸、拓展、既再现了数学知识发生、发展的过程，保证了试题的科学性，又贴近中学生的认知水平，还能激发中学生探求新知识的欲望。例如：（年上海高考数学试题第题）规定 = 其中，且这是组合数的一种推广（）求的值（）组合数的两个性质： 是否都能推广到（，）的情景？若能推广，则写出推广形式，并给出证明；若不能，请说明理由；（）已知组合数是正整数，证明当 ， 时 教科书基础：二项式定理及组合数。高等数学背景：组合数学中牛顿二项式定理及组合数。由学生熟悉的内容二项式定理、组合数进行类比、拓展，依照勤于思考的学生的思维方式对* 有意义并具有相关性质，那么对中拓展到上是否也有意义？是怎样的意义？是否具有相应性质？很自然地使知识结构深入发展。这种试题既考查了学生对中学基础知识掌握状况，又考查了学生的思维能力和探索创新的能力。题目情境亲切，又暗藏玄机，还具有挑战性，容易激发学生的探索兴趣是一道好考题。也应该是善于思索、勇于探索的学生学习教科书知识时，自然产生的问题。（二）以教科书中基本数学方法实现教科书与高考试题的链接教科书中积淀着解决问题常用的一些重要的数学方法，这些方法不仅是人类思维的结晶，也是提高学习者思维能力的重要基础，更是继续深入学习的保障。高考试题在这方面每卷都有充分的体现。例如：（年上海春季高考试题）设（） 利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（） （）（）（）（）的值为 。 等差数列的求和方法是“倒序相加”。学生可以说人人都知道，如果没有认真体会方法的产生、运用过程和实质，在解这一题时仍然是“踏破铁鞋无觅处”感到无从下手，如果真正领会了方法的实质，此题又给人一种“柳暗花明又一村”的惊喜。（三）以教科书中基本数学思想实现教科书与高考试题的链接数学思想是策略性知识，从帕金斯的智力公式：智力内容知识，发展学生智力最为经济有效的方法是培养学生应用策略性知识的能力。高考试题中可以毫不夸张地说：每卷每题都蕴含着数学思想的应用。 例如：（教科书第一册下第页例）已知 ， （，） ， （，）求（），（），（）。此题从知识角度看，学生求解没有大的困难，但却蕴含着化归转化思想。如果没有真正领会，对一些高考试题就难以完整、高效、简捷地求解。以下是相关高考试题：、（年河南高考试题卷 文）设（，），若，则（ ） 、（年全国高考试题文）已知：为第二象限的角， 为第一象限的角，求（ ）的值。、（年上海高考试题文）已知：是第一象限的角，求的值 、（年天津高考试题文）已知：（ ）， ，求 及（ ）（四）以教科书中典型例、习题分析概括的结论为模型实现教科书与高考试题的链接教科书中的一些典型例、习题，如果教师引导学生进行分析、归纳可以概括出一类问题的基本模型，这样可以使学生的知识结构占据一个较高的支撑点，有利于学生进行下位学习，为继续学习打好坚实的基础。例如：（教科书第一册复习题二，组第二题）证明：（）若（）则（）=（）若（）则f（）由此题引导学生分析，归纳可以概括出一类具有共同特征的函数：凸（或凹）函数。高考试题中以此题引申编制的试不少。高考试题：、（年湖北卷理） 在，这四个函数中，当时，使（）恒成立的函数的个数是（ ） ； ； ； 、（年重庆卷）如图所示，单位圆 的长为， （）表示 的弦所围成的弓形面积的倍，则函数 （）的图像是（ ）、（年四川高考卷理题）已知：已知函数（）+（）， （）的导函数是（），对任意两个不相等的正实数 ， 证明：（）当时，f（） （）当时，（） （） （五）以教科书中例、习题为原型由一般到特殊实现高考链接教科书中的例、习题，常有一些命题具有一般性的意义。把这些命题特殊化编制高考试题，考查学生对基础知识、基本方法的掌握水平。在高考试卷中常有出现。例：（教科书第一册上，第页，习题中第题）已知数列是等差数列，是其前项和，求证：成等差数列。设*成等差数列吗？由此题特殊化可得：年高考数学试卷（辽宁卷）第题设等差数列的前项和为若则（ ） （） （） （） （）例：（教科书第二册上第页例）求证：到圆心的距离为（）的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。此题特殊化可得：年高考数学试卷（四川卷）文科第题已知的方程是的方程是由动点向和所引的切线长相等则动点的轨迹是 。（六）以教科书例、习题进行变式实现与高考试题的链接教科书中的例、习题是高考数学试题不断创新的源泉。以教科书例、习题进行适当变式成为高考数学试题，不仅背景公平，而且有利于考查多数学生知识基础和思维能力的真实状况这在高考试题中有充分的体现。例如：（高中数学第二册上页第题）点（、）到两定点，距离的比是一个正数，求点的轨迹方程，并说明是什么图形。变式、（年四川高考文理）已知两定点（，），（，），若动点满足 ，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）（）；（）；（）；（）变式、（年广东、河南高考题）设，为椭圆+ 的两个焦点，为椭圆上的一点，已知：，是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。（一） 以教科书习题中学生易错点实现高考链接在教科书学习过程中，学生难免存在概念、定理理解不深刻，方法运用不准确，思维不严谨等诸多不足.高考试题有意在这些方面设置考题，以考查学生对概念的理解、方法的运用及数学思维品质等基本数学素质。例如：（教科书第141页，复习参考三，B组1）已知：数列 an的前n项和Sn=an-1（a是不为0的实数），那么 an（ ） （A）一定是等差数列 （B）一定是等比数列（C）或是等比数列，或是等差数列 （D）既不可能是等比数列，也不是等差数列。 S1 （n=1） 此题应用an= 过程中，易产生错误:忽略n2 条件，选择（B）。 Sn-Sn-1 （n2） 高考试题有意在此设置陷阱，考查学生数学基本素质.如（四川2006年文科第17题），数列an的前n项和记为Sn，a1=1，an+1 =2Sn+1（n1） （1）求 an 的通项公式；阅卷场中发现恰恰有很多学生在此马前失蹄，忽略n2的限制条件导致失分。（七）由教科书中若干例题、习题综合实现与高考链接以教材中的多个例、习题为原型，通过对其解法，知识联系的有机融合,形成有一定综合性的试题。例如：（2006年山东考文科数学第17题）设函数f（x）=2x3-3（a-1）x2+1其中（a1）（1） 求f（x）的单调区间（2） 讨论f（x）的极值此题可由教科书第三册选修（1）第54页复习参考题二,第4（3）题“求函数 y=x3-12x+2的单调区间”和第5题（3）“求函数Y= 3x3-9X极值”的基本解法，融合分类讨论思想于其中组合而成。（二） 由教科书中不同部分知识、方法及相应的数学思想方法综合实现与高考的链接。现行高考不再生硬地将考试划分为代数、三角、立体几何、解析几何等板块，也不过分追求涉及知识点的多少，覆盖面的大小，而是以数学思想方法立意，将其有机地融合，在知识网络的交汇处构造试题。例如：（2006年四川高考题理21、文22）已知两定点F1（-，0），F2（，0）满足条件：|-|=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果|AB|=6 ，且曲线E上存在点C，使+=m， 求m的值和ABC的面积S。此题可分解为以下几个关键步骤：由 |-|=2求得曲线E的轨迹方程x2-y2=1（x0） 方法来源于高中数学第二册，（上）第106页例3（爆炸点所在的曲线方程）已知弦长|AB|= 6 解得K=- 基本方法来源于数科书第二册（上）第118页例3由 +=m 设D是弦AB中点，则=此处解法来源于高中数学第一册（下）第106页例4由教科书学习过程中提炼的中点弦问题求法得 KODkAB=1得KOD= KOC=-得OC：y=-x y=-x -1联立 y=-x 得D（-2，4）此解法源于高中数学第二册（上）第50页例8 y=-x 联立 x2- Y2 =1 ，得C（-，2） 此解法来源于高中数学第二册（上）第132页复习参考题八，A组，第13题由= 易得m=4。此题解法来源于教科书高中数学第一册（下）第150页复习参考题五，A组18题。由点到直线距离公式得：点C到直线AB距离为1/3，再由三角形面积公式S=|AB|= 从整个解题过程的分析，我们可以看到此题以“数形结合”思想立意，利用向量与解析几何基础知识、基本方法的交汇、融合设计出综合性很强的大题。高考数学试题与教科书的链接方式是丰富多彩的，这里所做的仅仅是常用链接方式的探讨。但愿这种探讨能使我们的高考数学复习更具有针对性和效率。主要参考文献：1 人民教育