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文档简介

“中点弦”问题的一种简捷解法所谓“中点弦”问题是关于圆锥曲线上两点的中点(已知或等求)一类问题的统称, 在解析几何中与“中点弦”有关的问题是一类很典型,很重要的问题.解决这类问题的方法比较多,但多数方法的计算量比较大,本人试图通过一些实例,介绍一种简捷的解法,供诸位读者参考.例椭圆的弦AB被点(2,1)平分，求弦AB所在的直线方程.分析:本题的关键是求出弦AB所在直线的斜率.解:方法.设直线的斜率为k, (显然k存在且不等于0),则直线方程与椭圆方程联列有:消去变量y,得方程()()中的两根分别是直线上两点A,B的横坐标.由已知条件有:弦AB所在的直线方程为:方法.设A,B两点的坐标为代入椭圆方程中得两式相减得又,弦AB所在的直线方程为:注:以上两种解法中,方法是解决“中点弦”问题的常规解法,思路清晰,但计算量大,方法则采用“设而不求”的方法，面军是解决“中点弦”问题的典型解法，计算量较方法要小，但笔者发现，有一种更简捷的方法，介绍给大家.如右图,点M是线段AB的中点,设,这时有两个非常简单有趣的结论: 解题时若能充分利用这两个结论,则可以轻松、快捷、准确地解决“中点弦”的有关问题.解:方法.设,代入曲线中,则两式相减弦AB所在的直线方程为:下面再举几个例子,以期读者熟悉这种解法例2.过定点A(q,0)的动直线交抛物线于M,N两点,求弦MN的中点P的轨迹方程.解:设动点把M,N两点代入抛物线方程中两式相减得又.例3.直线与椭圆交于A,B两点, 且|AB|=2,设线段AB的中点为M,当运动时,求中点的轨迹方程.解:设点,把点A,B坐标代入椭圆方程中,得两式相减得:两式相加得由(1)、（2）得注意到所求的轨迹方程为例4.双曲线的离心率为,A,B是双曲线上关于x,y轴均不对称的两点.线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(1,0),设AB的中点为求的值.
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