含参数不等式恒成立问题的解题策略.doc

解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法 “含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般地，若函数的定义域为D，则当xD时，有恒成立（有解M）；恒成立（有解）.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围.分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于0在给定区间a，b上恒成立问题可以转化成为在a，b上的最小值问题，若中含有参数，则要求对参数进行讨论。tg(t)o1图1【解析】由得到：t=m因为为奇函数，故有恒成立，又因为为R减函数，从而有对恒成立tg(t)o1图2t=m设，则对于恒成立，在设函数,对称轴为.当时，即，又(如图1)当，即时, ,即,又,(如图2)t=mtg(t)o1图3当时，恒成立.(如图3)故由可知：.例二 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证f(x)为奇函数；(2)若对任意xR恒成立，求实数k的取值范围分析: 问题(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+20对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数， 即对于任意恒成立.令t=30，、问题等价于对于任意恒成立.令,其对称轴为直线当,即时, 恒成立,符合题意,故;当时,对于任意,恒成立，解得综上所述,当时,对于任意恒成立.本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷.分离系数,由得.由于,所以,故,即u的最小值为.要使对于不等式恒成立,只要说明: 上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖例三 已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。分析：利用导数将“函数在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数在区间（-1，1）上恒成立” ，利用分离系数法将t分离出来，通过讨论最值来解出t的取值范围。【解析】依定义。则，ox1-1yg(x)若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。在（-1，1）上恒成立。考虑函数，（如图4）由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，图4故要使在（-1，1）上恒成立，即。而当时，在（-1，1）上满足0，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是.数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化因此，更要重视转化的数学思想含参数不等式恒成立问题中参数范围确定的具体方法：1：分离参数法例 1：设，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n2，若当 时有意义, 求a的取值范围。该题题型新颖，许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。因为这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法：例如上面的这道高考题，我们根据其特征可以用分离参数法来解决。所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。我们来分析一下这道题的特征：因为分母n是正数，要使得当有意义，分子就必须也是正数。并容易看出，可以将a分离出来。分析： 当时，有意义，故有令，只要对在上的最大值，此不等式成立即可。故我们可以利用函数的最值分离出参数a。解： 由时，有意义得：，由指数函数单调性知上式右边的函数的最大值是 故 a一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 , （ 为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为的形式；（2） 求在D时的最大（或最小）值；（3） 解不等式 得的取值范围。思想方法： 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。变式：不等式-2cos2x+4sinx-k2+k0对一切实数x恒成立，求参数k的取值范围。分析与解：所给不等式可化为：（2 sinx+1）2 k2-k+3（2 sinx+1）2max 3或k 令2 m4 即4m在上恒成立 ，即求在上的最小值 2等号成立条件t=,即成立 4m4 m的取值范围为（4，）例 3： 设00在上恒成立。 或41()0解得 ： 或或 ，即 m的取值范围为：4： 数形结合法 某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法。因为辨正唯物主义认为：万物皆有形。所以从宏观上讲，抽象的数学问题必存在着形象的直观模型，这是因为数学问题本身就是客观世界事物的抽象。我们在解题时，可以有意识地去认识，挖掘和创造抽象的直观形象，变抽象为直观，充分运用直感，由数思形，以形辅数。数形结合往往能迅速而简捷地找到解题途径。对于解含参不等式恒成立问题，我们可以先把不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。例8、已知对于一切x，yR，不等式恒成立，求实数a的取值范围。xOy解：要使原不等式恒成立，又=，考虑到点M（x,），N（y,-）则点M在曲线C1：xy=9上，点N在曲线C2：x2+y2=2(y0)上。显然|MN|min=，此时a.故满足条件的a 的取值范围为评析：对一些不等式两边的式子，函数模型较明显、函数图象较容易作出的，可以考虑作出函数图象，用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立的问题，也非常容易得到意想不到的效果。例9：若不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。解： 由题意知 ： 在内恒成立。在同一坐标系内分别作出 和 的图象因为时，的图象位于函数的图象上方， 当 a 1时，显见不成立。故 0a又取0，时均得： 由此猜想： 由于当 时，对一切 ， 恒成立故 为所求。数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强。这就要求我们要以变应变，在解题过程中，要根据具体的题设条件，认真观察题目中不等式的结构特征，从不同的角度，不同的方向，加以分析探讨，从而选择适当方法快速而准确地解出。当然除了以上的方法外，还有许多其它的方法，值得一提的是，各种方法之间并不是彼此孤立的。因此，系统地掌握参数问题的解题方法，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助。【自我测评】1函数在上恒有，则的取值范围是 。2的不等式在上恒成立，则的取值范围是 。3函数的定义域是一切实数，则的取值范围是 。4对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是 。5若不等式对于任意实数x都成立，求的取值范围。6若对任意实数x都有，求m的范围。7已知函数f(x)=,x. （1）当a=时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意的x，恒成立，试求a的取值范围。8已知（）若函数图象上任意两个不同点的连线斜率小于1，求证： （）若，函数上任一点切线斜率为，当时，求的取值范围。9若对于任意a，函数的值恒大于0，求x的取值范围。10已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在上是增函数，对于任意，求实数m范围，使 恒成立。11已知定义在上，且有，f（）= -1若数列满足 。（1）求数列的通项公式（2）是否存在整数，使不等式对任意恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由。12.已知函数，其中a为常数，且.（）若，求函数的极值点；（）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.【参考解答】1 2. 3. 4 . 5x|x=1或x36恒成立，即恒成立， 解得-11m令2， m4即4m在上恒成立，即求在上的最小值 2等号成立条件t=,即成立， 4m4， m的取值范围为（4，）11（1），即有，故。（2）在上是减函数，所以 故。12. 解法一：（）依题意得，所以， 令，得， ，随x的变化情况入下表：x0+0极小值极大值 由上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点. （） , 由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， 当时，显然对任意恒成立； 当时，等价于，因为，不等式等价于, 令， 则，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增，所以在上的最小值为，由于对任意恒成立等价于对任意恒成立，需且只需，即，解得，因为，所以.综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为.解法二：（）同解法一（）, 由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当时，显然对任意恒成立； 当时，令，则函数图象的对称轴为， 若，即时，函数在单调递增，要使对任意恒成立，需且只需，解得，所以; 若，即时，由于函数的图象是连续不间断的，假如对任意恒成立，则有，解得，与矛盾，所以不能对任意恒成立.综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为.自主探究1：已知不等式对恒成立，求