2.1.1数列

斐波那契比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年），中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。其写于1202年的著作计算之书中包涵了许多希腊、埃及、阿拉伯、印度、甚至是中国数学相关内容。家庭：列奥纳多的父亲Guilielmo（威廉），外号Bonacci（意即好、自然或简单）。因此列奥纳多就得到了外号斐波那契 (Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子）。威廉是商人，在北非一带工作（今阿尔及利亚Bejaia），当时年轻的列奥纳多已经开始协助父亲工作，他学会了阿拉伯数字。学习:有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，列奥纳多前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。1202年，27岁的他将其所学写进计算之书（Liber Abaci）。这本书通过在记账、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。（例子：1482年，Ptolemaeus世界地图 ，Lienhart Holle在Ulm印制）成就：列奥纳多曾成为热爱数学和科学的腓特烈二世(神圣罗马帝国的皇帝）的坐上客。欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（1516世纪）欧洲数学的高涨。文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。意大利学者早在1213世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契（约11751240），其拉丁文代表著作计算之书（Liber Abaci）和几何实践（Practica Geometriae）也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多（Leonardo of Pisa），早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成计算之书（Liber Abaci，1202，亦译作算盘全书、算经）。计算之书最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。现传算经是1228年的修订版，其中还引进了著名的“斐波那契数列”。几何实践（Practica Geometriae， 1220）则着重叙述希腊几何与三角术。斐波那契其他数学著作还有平方数书(Liber Quadratorum， 1225）、花朵（Flos， 1225）等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为腓特烈二世（Frederick II）宫廷数学竞赛问题，其中包含一个三次方程/十2x2十10x20求解，斐波那契论证其根不能用尺规作出（即不可能是欧几里得的无理量），他还未加说明地给出了该方程的近似解（J一1 36880810785）。微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。微积分的思想根源部分（尤其是积分学）可以追溯到古代希腊、中国和印度人的著作。在牛顿和莱布尼茨最终制定微积分以前，又经过了近一个世纪的酝酿。在这个酝酿时期对微积分有直接贡献的先驱者包括开普勒、卡瓦列里、费马、笛卡）U、沃利斯和巴罗（1Barrow，16301677）等一大批数学家。人物轶事：斐波那契在计算之书中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有的兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔总数共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；依次类推可以列出下表：经过月数0123456789101112总体对数01123581321345589144表中数字1，1，2，3，5，8构成了一个序列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在计算之书中提出的，这个级数的通项公式，除了具有an+2=an+an+1的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/5 （1/2+5/2） n-（1/2-5/2）n(n=1,2,3.）（5表示根号 5）。这个通项公式中虽然所有的an都是正整数，可是它们却是由一些无理数表示出来的。即在较高的序列，两个连续的“斐波纳契数”的序列相互分割将接近黄金比例（1.618:1或1:0.618）。例如：233/144，987/610斐波那契数列还有两个有趣的性质斐波那契数列中任一项的平方数都等于兔子问题跟它相邻的前后两项的乘积加1或减1；任取相邻的四个斐波那契数，中间两数之积（内积）与两边两数之积（外积）相差1。生活中的斐波那契数列：斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。斐波那契数与植物花瓣3百合和蝴蝶花5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8翠雀花13金盏和玫瑰21紫宛34、55、89雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正