高考数学大题训练15.doc

高 考 数 学 大 题 训 练151. (本小题满分14分)如图，四棱锥中，（）求证：；（）线段上是否存在点，使/ 平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由1. (本小题满分14分)（）证明：取中点，连结，因为 ，所以 2分因为 ，所以 ，又因为 ，所以四边形为矩形， 所以 4分 因为 ，所以 平面 6分所以 7分 （）解：点满足，即为中点时，有/ 平面8分证明如下：取中点，连接， 9分因为为中点，所以， 因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以 12分因为 平面，平面， 13分所以 / 平面 14分 2. (本小题满分14分)如图，现有一个以为圆心角、湖岸与为半径的扇形湖面.现欲在弧上取不同于的点，用渔网沿着弧（弧在扇形的弧上）、半径和线段（其中），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域养殖区域和养殖区域. 若，.（1）用表示的长度；（2）求所需渔网长度（即图中弧、半径和线段长度之和）的取值范围.2. (本小题满分14分)解：(1) 由CDOA，AOB，AOC，得OCD，ODC，COD.在OCD中，由正弦定理，得CDsin，(6分)(2) 设渔网的长度为f()由(1)可知，f()1sin.(8分)所以f()1cos，因为，所以，令f()0，得cos，所以，所以.f()0f()极大值所以f().故所需渔网长度的取值范围是.(14分)18. (本小题满分16分)3已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（）求椭圆的方程；（）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，18. (本小题满分16分)解:（）依题意，由已知得 ，由已知易得,解得. 3分 则椭圆的方程为. 4分(II) 当直线的斜率不存在时，由解得.设，则为定值. 6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.将代入整理化简，得.7分依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，则，. 9分又，所以 10分 .15分综上得为常数2. .16分的斜率分别为，求证：为定值4. (本小题满分16分)已知：函数 ，在区间上有最大值4，最小值1，设函数（1）求、的值及函数的解析式；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；（3）如果关于的方程有三个相异的实数根，求实数的取值范围4. (本小题满分16分)解：（1），由题意得： 得 或 得（舍）， ，4分（2）不等式，即，设，10分（3），即令，则 记方程的根为、，当时，原方程有三个相异实根，记，由题可知，或14分时满足题设16分5. (本小题满分16分)已知各项均为正数的数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足.（1）求p的值及数列的通项公式；（2）问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，指出的关系，若不存在，请说明理由.若成等差数列，求正整数的值.5. (本小题满分16分)解：（1）n=1时，即，.当时，.将n=2代入，得.与条件矛盾. 当时，.将n=2代入，得.由，得-，得则，即.则则-，得数列是等比数列，则，符合题意. 8分(2) 假设存在正整数，使得成等差数列. 则，当且仅当且成立. 即时取等号，与矛盾. 假设不成立，则不存在正整数，使得成等差数列. 若成等差数列，即成等差数列. 由知， 16分6（本题满分14分）已知函数（，）的图像如图所示，直线，是其两条对称轴（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值解：(1) 由题意， T.又0，故2， f(x)2sin(2x)(2分)由f()2sin()2，解得2k(kZ)又， ， f(x)2sin(2x)(5分)由2k2x2k(kZ)，知kxk(kZ)， 函数f(x)的单调增区间为k，k(kZ)(7分)(2) 解法1：依题意得2sin(2)，即sin(2)，(8分) ， 02. cos(2)，(10分)f()2sin(2) sin(2)sin(2)coscos(2)sin()， f().(14分)解法2：依题意得sin(2)，得sin2cos2，(9分) ， 02， cos()，(11分)由cos(2)得sin2cos2.得2sin2， f().(14分)解法3：由sin(2)得sin2cos2，(9分)两边平方得1sin4，sin4， ， 4， cos4，(11分) sin22.又2， sin2， f().(14分)7（本题满分14分）设函数 (kN*，aR)(1) 若，求函数的最小值； (2) 若是偶数，求函数的单调区间解：（1）因为，所以，（），由得，且当时，在上是增函数；当时，在上是减函数故（5分）（2）当是偶数时， 所以当时，在上是增函数；（9分）当时，由得，且当时，当时，所以在上是减函数，在上是增函数（13分）综上可得当时，的增区间为；当时，的减区间为，增区间为（14分）8（本题满分15分）中，、所对的边为、已知，（1）若，求的面积的大小；（2）求的值（1）由可知，（4分）因为，所以,所以，即（6分）由正弦定理可知：，所以，因为所以，所以（8分）所以（10分）（2）原式=（14分）9（本题满分15分）某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将2011年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（1）由题意可知，当时，即，每件产品的销售价格为元.2009年的利润 （8分）（2）时，.，当且仅当，即时，.（15分）答：该厂家2011年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.（16分）10（本题满分16分）已知函数，其中，且函数在上是减函数，函数在上是增函数（1）求函数，的表达式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围 （3）求函数的最小值，并证明当，时解：（1）对任意的恒成立，所以，所以；同理可得；（4分）（2），且函数在上是减函数，函数在上是增函数所以时， （6分）有条件得，；（8分）（3），当时，当时，当时，在递减，在递增（12分）当时，；，所以，时成立；（16分）11（本题满分16分）设数列、满足， （1）证明：，（）；（2）设，求数列的通项公式；（3）