一题多解在数学解题中的运用.doc

一题多解在数学解题中的运用 -以2010年高考数学（17）题为例李 艳甘肃省兰州市第六十五中学 730070摘要：一题多解是开发智力、培养能力的一种行之有效的方法,它对沟通不同知识间的联系,开拓思路,培养发散思维能力,激发学生的学习兴趣都十分有益.在教学中，恰当而又适量地采用一题多解的方法,进行思路分析，探讨解题规律和对习题的多角度“追踪”,能“以少胜多”地巩固基础知识,提高分析问题和解决问题的能力,掌握基本的解题方法和技巧.本文以2010年高考数学17题为例,分析一题多解在数学解题中的运用,旨在说明在平时的数学教学中应培养学生一题多解的习惯.关键词：一题多解；三角函数；数学教学一题多解是激发学生兴趣、开拓思路、培养思维品质和应变能力的一种十分有效的方法.一题多解的构思方法是：从数学基本知识方面构思；从数学基本方法方面构思；从初等数学中的代数、立体几何、解析几何、三角函数等的横向综合沟通方面构思,等等.如2010年普通高等学校招生全国统一考试的文、理科数学(17)题：中,为边上的一点,求.对这道高考题,可以采用如下多种解法求解：分析1 根据图一,先求出,再利用正弦定理求.解法1 由题意可得,. 从而 . 由正弦定理得 , 所以.分析2 联立正弦定理与余弦定理构造一个关于的方程，并从中解出. 解法2 由题意可得,. 从而.由正弦定理得, 所以.又由余弦定理知，将代入此式,可得：求解该一元二次方程, 得.分析3 过作的垂线，垂足为(见图二), 先求出，再由直角三角形解出.解法3 过作的垂线，垂足为,则.又 , 所以.分析4 过作的垂线，垂足为(见图二),利用诱导公式求出,再根据直角三角形求出.解法4 过作的垂线，垂足为, 则. 而且, , , ， 从而. 分析5 过作的垂线,垂足为(见图三),在直角三角形中设，得出,的长度的表示式,然后在直角三角形中利用勾股定理.解法5 过作的垂线,垂足为.设,则由可得, . 这样 , .再由, 得.分析6 过作的垂线(见图三),在中利用设三边的长分别为:；同时在中利用求解.解法6 过作的垂线,垂足为. 由,可设. . 即， 解得. 从而.分析7 过作的垂线,过作的垂线(见图四),这样便可以构造两个相似三角形，然后借助“相似三角形的对应边成比例”这一性质求解.解法7 过作的垂线,垂足为;过作的垂线,垂足为.则与相似, 这样.又,可设.由得:,.因此, 解得.从而.ABCD ABCD F （图一） （图二）ABCDE ABCDE F （图三） （图四）从上面的多种解法我们注意到解法6和解法7比较简单,数学问题形式多样,由于思维定势产生的负效应,学生解题时往往墨守成规,而思维灵活性的培养在解题教学中主要表现为一题多解.因此,在教学及学习过程中应注重一题多解.一题多解以其思维的发散性,探求问题的多方向性、多层次性、多侧面性,解法转化的灵活性,使数学解题的方法五彩缤纷,各具特色.在教学及学习中运用一题多解,是学好数学的一种良好方法.运用一题多解,总结各种解法,有利于学生的知识系统化、深刻化;运用一题多解,有利于培养