B题 1725的建模模型.doc

第三届数学中国数学建模网络挑战赛地址：内蒙古数学会 网址：电话邮编：010021 Email：2010 第二届“数学中国杯”数学建模网络挑战赛承 诺 书我们仔细阅读了第二届“数学中国杯”数学建模网络挑战赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理.我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意.我们的参赛报名号为：参赛队员 (签名) ：队员1： 队员2：队员3： 参赛队教练员 (签名)： 教练组 参赛队伍组别：大学组第二届“数学中国杯”数学建模网络挑战赛编 号 专 用 页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：1725竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：22010年 第三届“数学中国杯”数学建模网络挑战赛题 目 ： Braess悖论与交通系统流量模型 关 键 词 ： Braess悖论 交通系统 流量 时间一.摘 要北京二环路为北京市的一条环城道路，全程32.7公里.二环路最初于六十年代开始建设.在本题中我们以二环路为标本，来验证悖论问题.在个人独立选择路径的情况下，某路网为增加额外的通行能力（如增加路段等），反而导致了整个路网的整体运行水平降低的情况.若某道路系统的纳什均衡并非最优状态，就可能会产生Braess悖论现象.通过模型建立，我们可以把二环路以内的的线路简化成单向多支的一个网，选取一个起点与一个终点.建立一个单源单汇网络模型.写出从起点到终点的不同路径情况，考虑不同路径的路程，交通状况，实际流量，选择系数等因素建出走完该路径所需时间的函数 ，通过限制某条路径的流量，建立出其他各条路径走完所需时间函数 对比各路径经某条路径限流后走完所需时间与实际时间看各路径是否满足Braess悖论.有时在一个交通网络上增加一条路段，或者提高某个路段的局部通行能力，反而使我们更倾向于选择那条道路，使车流量分配失衡，引起一部分道路堵塞而另一部分道路资源过剩.如果司机广泛使用可以反映当前交通拥堵情况的GPS 导航系统，可以很好的控制路网中的车流平衡.此时各路段的选择系数发生很大变化，之前是有人的主观选择，之后考虑用了该GPS系统后的各种影响因素建立出函数 算出最大时间与没有该系统的情况作比较观察效果.SummarySecond Ring Road in Beijing, Beijing, a ring road, the whole 32.7 km. Second Ring Road was first started building the sixties. The path independent choice in personal circumstances, for a road network, extra capacity (such as increased road and so on), but the entire road network will result in overall lower level of the situation is running. If a road system of the Nash equilibrium is not optimal state, it may produce the phenomenon of Braess paradox.Through the model we can within the Second Ring Road, the line reduced to a one-way multi-branch network, select a starting point and an end point. The establishment of a single-source single exchange network model. Write from the beginning to the end of the different paths, considering the distance of different paths, traffic conditions, the actual flow rate, selection coefficient and so build up has completed the path to a function of timeBy limiting the flow of a path to establish a path to finish the other time of each function by comparing the path of a path after the finish the time limit and the actual time to read the path meets the Braess paradox.Sometimes on a transport network to add a section or increase the capacity of a section of the Jubu passage, but may bring piece of road we tend to choose to make traffic flow distribution imbalance, caused by road congestion Erling Yi Yi Bufen some roads surplus resources. If the driver can be widely used to reflect the current situation of traffic jam GPS navigation system, can be well controlled road network in the traffic balance. At this point the road has greatly changed the choice of coefficients, before someones subjective choice, Consider a GPS system with the effects of various factors upon the establishment of the function calculates the maximum time and did not compare the situation of the system observed effects. 目录 一. 问题的提出2二. 问题的分析2三问题的假设2四符号的说明2五模型的建立5六模型的推广8七. 模型的评价9八参考文献9参赛密码 （由组委会填写）参赛队号 1725 所选题目 B题 10报名号 # 1725一.问题的提出在我们的实际交通生活中存在一个非常奇怪的现象，我们发现有时为了提高某个路段的局部通行能力，在一个交通网络上增加一条路段，结果反而使所有出行者的出行时间都增加了，这种为了改善通行能力的投入不但没有减少交通延误，反而降低了整个交通网络的服务水平,这就是有名的悖论问题，在复杂的城市道路当中，道路建设犹如一个底气不足的运动员，虽然大汗淋漓地拼命追赶，可总是赶不上它的对手，即汽车的快速增长.故此，单纯依靠修、扩建城市道路来期望解决道路的拥塞是行不通的，所以我们要学会合理的规划，利用现有的资源，解决这个问题.对于悖论问题在交通中的出现，我们提出了一下2个问题的求证和优化.问题1：通过分析实际城市的道路交通情况1（自行查询的数据需给出引用来源），建立合理的模型，判断在北京市二环路以内的路网中（包括二环路）出现的交通拥堵，是否来源于Braess 悖论所描述的情况.问题2：请你建立模型以分析：如果司机广泛使用可以反映当前交通拥堵情况的GPS 导航系统，是否会缓解交通堵塞，并请估计其效果.二.问题的分析. 首先我们介绍一下悖论的产生机理对悖论的分析（下面是一些关于悖论的例子）考虑上图到图图中的交通网, 有4000辆车打算在其中路上通行. 通过的时间从起点到A是路上车的数量除以100, 而从起点到B是固定的45分钟(另一条路相同). 如果近路不存在(即交通网上只有4条路), 从起点到A到终点需要的时间是 , 而从起点到B到终点需要的时间是A/400+45 . 如果其中某条路的通过时间更短, 是不可以达到纳什均衡的, 因为任何一个理性的司机都会选择更短的路. 因为有4000辆车, 易知 A + B = 4000 可以解得 A = B = 2000 这样每条路的通过时间都是 2000/100+45=65分钟.现在假设有了一条近路(通过时间接近于0), 在这种情况下所有的司机都会选择从起点到A到B这条线路, 因为就算所有的车都走这条路, 通过时间也不过40分钟, 小于起点到B的45分钟. 到达A之后, 所有的司机都会选择从用接近0的时间行驶到到B再到终点, 因为就算所有的车都走这条路, 通过时间也不过40分钟, 小于A到终点的45分钟. 这样所有车的通过时间是4000/400+4000/400=80分钟, 比不存在近道的时候还多了15分钟. 因为没有司机愿意切换到别的路上去, 所以走原先的路线(起点A终点, 起点B终点)的时间都变成了85 分钟. 如果大家都约定好不走近路, 那么都可以节约15分钟的时间. 但是, 由于单个的司机总是能从抄近道上获益, 所以这种约定是不稳定的, 于是Braess悖论便出现了有时在一个交通网络上增加一条路段，或者提高某个路段的局部通行能力，反而使我们更倾向于选择那条道路，使车流量分配失衡，引起一部分道路堵塞而另一部分道路资源过剩.如果司机广泛使用可以反映当前交通拥堵情况的GPS 导航系统，可以很好的控制路网中的车流平衡.以总运输量从起点到终点所花时间T来衡量悖论的存在与否.易知通过一个线路的总时间与这段路的路程，限速v，流量等因素有关.流量与每条路限速，每条路的选择系数,总流量，时间段，路长，分流合流情况等因素有关.选择系数与路长路宽有关.在所有相关联的量中优先考虑影响相对较大的量.可建立每种路线通过时间与个因素的函数，分析假如某路线限流后能否引起某条线路的通过时间的减少，若能则此线路满足Braess悖论.同一条路径不同时刻的拥堵情况不同，同一时段不同路径的拥堵情况也不同.故满意度与时间和路程有关.从选择系数和满意度两个不同角度考虑时，得到两组数据，再比较其最大值，便可以判断是否拥堵.三问题的假设3.1假设不考虑人为因素，天气情况等其他外界因素.3.2.如果开车用户都了解拥挤情况，允许个体竞争而不加以阻拦，结果从出发点到目的地的所有路上的所花的时间都相等时，系统达到平衡.3.3每条道路都是单方向行驶的，都是向着终点的方向行驶.3.4 道路宽度一定.3.5 假定在建模中忽略影响较小的因变量.四.符号的说明及实际情况的分析符号 符号所表示的意思Q汽车的总流量i线路的满意度i线路的选择系数i线路的综合系数i线路的流量（小时）i线路的流量从i路线走花费的时间 (千米/每小时) i线路的路程千米）i线路最大限速度4.1.对交通问题的背景分析:在科技飞速发展的今天，交通系统是整个社会体系的重要组成部分，随着经济的发展和社会保有量的增加，交通拥堵已成为国内外大城市的一个通病，比如今年来日益严重的堵车问题，造成城市拥堵的直接原因是城市道路的建设速度赶不上机动车增加的速度，于是应运而生的便产生了路和车的矛盾；另外我们为了追求时间的节省和资源的合理利用，于是在合理的规划城市交通路线上投入了大量的人力物力(2)交通的供给与需求发展是不对称的,合理地抑制需求是未来交通发展必然.因而,发展公共交通,提高交通工具的运载能力是可行的选择.4.2对北京二环路段拥挤情况的分析:以北京二环路内以及二环路为例进行分析，主要有五条东西走向的主干道，两条南北走向的主干道，在清晨六点时刻，从天安门桥到西便门桥出现缓行情况，其他路段都比较畅通，在七点时刻，从菜户营桥到西便门桥出现拥堵情况，在报国寺段及东便门桥也拥挤，南二环缓行情况很严重，在八点时刻，菜户门桥到西边门桥依然拥挤，福山寺段广渠门大街及天安门段，西长安街及宋庆龄同志故居，从建国门到文化部出现拥堵，西长街拥堵严重，在六点时刻，北二环路段及西长安街拥堵，其他地区缓行情况也比较多，其他时段都比较畅通，由此可分析出，上班时段交通比较拥堵，而且在购物，娱乐场所，还有学校的附近因为人流量比较大，所以堵车情况比较频繁，在岔口多的地方也比较拥堵.我们以总运输量从起点到终点所花时间T来衡量悖论的存在与否.易知通过一个线路的总时间与这段路的路程，限速，流量等因素有关.流量与每条路限速，每条路的选择系数，总流量，时间段，路长，分流合流情况等因素有关.选择系数与路长路宽有关.我们根据以上各变量之间的联系做出以下统计：表1：各时间段和各路段的车流量（辆/小时）统计 流量 路段 时间/小时 8:00 11:3014:00 16:00 19:00 22:00 均值11380108020801380336014401440 21080720900600900780840 31380120014402160222015001680 4144012001380740180012601320 5740960168096090010201140 61080108030010201500960960 7720720720162015607201040 8120066015001740150012601200 9180090018001800168016201620 表2：各路段几个时间段车辆行驶所需时间时间 8:00 11:30 14:00 16:00 19:00 22:0010.21960.19860.26860.21960.35820.2238 20.16960.17340.15700.1360015700.1486 30.13160.11900.13580.18620.19040.1526 40.13580.11900.13160.08680.16100.1232 50.17480.16320.21360.16320.15900.1674 60.10760.10760.05300.10340.13700.0992 70.08540.08540.08540.18040.14420.0854 80.20100.16320.22200.23880.22200.2052 90.29800.23500.29800.29800.28960.2854表3：各路段的路程，车辆最大限速及自由交通时间路段 s（千米）v（千米/每小时） a（小时） 1 9.6 78 0.123 2 6.6 70 0.094 3 2.8 80 0.035 4 2.8 80 0.035 5 6.7 70 0.096 6 2.4 75 0.032 7 2.1 60 0.035 8 8.2 70 0.117 9 12.9 75 0.172 五模型的建立由实际的北京二环路面简化而来的模型图如下图： 模型一：假设所有的车流都是以A为出发点，以B为目的地，则车流有5种路线选择.路线一：6-31；路线二：632；路线三：654；路线四：874；路线五：974；我们以总运输量Q从起点到终点所花时间T来衡量悖论的存在与否.路线i所花时间为，T为max.易知通过一个线路的总时间与这段路的路程，限速，流量等因素有关.流量与每条路限速，每条路的选择系数，总流量Q，时间段，路长，分流合流情况等因素有关.选择系数与路长路宽有关.通过数据统计假设Q为1122.4通过数据，资料分析选择系数与路长成反比各路线选择系数之和为1，由这些关系列的一下关系式令求得设 得 路段 1 2 3 4 5 （千米） 14.8 11.8 11.9 13.1 17.8 （千米/小时） 78 75 75 70 72 393.77221.39219.5385.4797.84各路径路程，最大限速以及综合系数即=0.1905=0.1577=0.159=0.1=0.2475对路线三进行限流设限流量为后可求得假设=90=0.199=0.141=0.189=0.250由以上公式所计算出来的数据对比，然后发现线路二经过线路三限流后通行时间减少，这种情况刚好符合Breass悖论中的内容，由此我们说路线三是符合Breass悖论的，这样问题一就被解决了.我们对模型二的数据做出以下处理： 可求得由得路段一 二三四五时间0.1890.1570.1590.1870.247=0.1901=0.1573=0.159=0.1871=0.2472=0.250 =0.247 故可得即如果司机广泛使用可以反映当前交通拥堵情况的GPS 导航系统，可以减少缓解交通堵塞. 六模型的推广在科技飞速发展的今天，汽车的增长率已经大大超过了道路的建设速度，汽车堵塞已经成为了现在社会的一个重大问题，最近我在网上搜到这么一组数据：目前郑州的可通行的道路大约有500多条，中长度达450余公里道路面积共有600多万平方米，并且现在和今后还正在且将有道路被扩建、新建.近4年来，全市道路建设长度年平均增长速度约为3，道路面积年平均递增率为437.然而，我市现有非机动车辆323万辆，机动车23万多辆，机动车的年平均递增率是10左右.通过对比不难看出，道路建设犹如一个底气不足的运动员，虽然大汗淋漓地拼命追赶，可总是赶不上它的对手.故此，单纯依靠修、扩建城市道路来期望解决道路的拥塞是行不通的.而这也正是我们本次论文Baress悖论所要论述的观点，由以上的数据分析讨论，悖论现象是交通系统的只允许自由竞争道道平衡时可能出现的一种现象，要想提高系统的效益不能只考虑到扩充网络.自由水平，要想从根本上解决问题，可以民意调查一些关于道路的条数与车流量的比例，然后再决定道路的建