高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大版必修1.doc

4.2.1 实际问题的函数刻画【教学目标】知识技能：（）培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。（）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理，得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。（）通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。2过程与方法： （）通过实际问题情境，使学生了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数来刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系。 （）通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养学生解决实际问题的能力。情感、态度与价值观： （）体会事物发展变化的 “对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。 （）教育学生爱护环境，维护生态平衡。 （）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程，感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用，领悟方程与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。【教学重点】常用简单函数模型的应用。【教学难点】实际问题的函数刻画化归。【教学方法】利用多媒体教学手段，教师引导启发，学生交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。【课前准备】多媒体课件；坐标纸【教学设计】【课前预习】阅读教科书p137p139，尝试完成以下两题：1商店的一种商品每个进价80元，零售价100元为了促进销售，开展购一件商品赠送一个小礼品的活动，在一定的范围内，礼品价格每增加l元，销售量增加10求利润与礼品价格”之间的函数关系2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到al，a2，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”“是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的平方和最小依此规定，请用a1，a2，an表示出a 课堂引入有一大群兔子在喝水嬉戏，但这群兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋？为什么？还是从头说起：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且兔子没有天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了澳大利亚，数量达75亿只，兔子太多，为了生存，变得可恶起来，75亿只兔子，吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜，这些使澳大利亚人头痛不已，他们采用了各种方法，消灭兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液病毒杀死了90%的兔子，澳大利亚人才算松了一口气。问题：自然界一个种群的数量增加有无规律？能否用数学的方法来刻画，怎么刻画？活动过程1问题1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化表42给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么?表42环境温度/（）410203038代谢率4185j（hm2）60444040554分析: （1）该问题中反映的信息中有哪些量?在这个实际问题中出现了两个变量，一个是环境温度，另一个是人体的代谢率不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来（如图45） （2） 这几个量之间存在怎样的依赖关系? 在这个问题中，通过刘实验数据的分析可以确定由4，10，20，30，38到60，4440，405，54的一个函数，通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一个新的函数，定义域扩大到了区间438对于实际的环境温度与人体代谢率的关系来说，这是一个近似的函数关系，它的函数图像，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢率的关系 （3） 数据提供的信息是什么（揭示了怎样的规律）?根据图像，可以看出下列性质： （1）代谢率曲线在小丁20的范围内是下降的，在大于30的范围内是上升的； （2）环境温度在20一30时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时代谢率变化不大； （3）环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响 （4） 上述规律有什么现实指导意义？所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在2030之间，这样可以使环境温度的影响最小活动过程2问题2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去厂200000元，生产每件上艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x对总成本c、单位成本p、销售收入r以及利润l之间存在什么样的函数关系?表示了什么实际含义， （1） 该问题中反映的信息中有哪些量? （2） 这几个量之间存在怎样的依赖关系? 解: 总成本c与产量x的关系 c=200000+300x； 单位成本p与产量x的关系 p=200000/x+300； 销售收入r与产量x的关系 r=500x； 利润l与产量x的关系 lr-c=200x-200000 以上各式建立的是函数关系 （1）从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量若x1000，则可盈利这也可从图46看出，r和c的图像是两条直线，在它们的交点处利润为零 （2）从单位成本与产量的关系p200000/x+300可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益活动过程3问题3 如图47，在一条弯曲的河道上，设置了六个水文监测站现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺没专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度? 解：情报中心在河边的位置一旦确定每一个水文监测站到情报中心的通信电缆长度（曲线段长度）就唯一确定了因此，表示情报中心位置的数值与专用通信电缆的总长度就构成一个函数关系现在将弯曲的河道“拉直”使刻画曲线段长度的问题变成了刻画直线段长度的问题将“变直了”的河道当作一个数轴，不妨设a为原点abb，accaddaee，aff.于是，水文监测站a,b,c,d,e和f的坐标就可以用0,b,c,d,e,f表示出来表示情报中心位置的数值可以看作一个变量，用r表示，这样对于给定的x的值就能计算小情报中心到每一个水文监测站的长度，从而可以得出所需电缆的总长度f（x）|x|+|x-b|+|x-c|+|x-d|+|x-e|+|x-f|课堂小结：本节课我们通过几例实际问题，体会到了用一次函数（分段）模型来刻画实际问题的方法，明白数形结合法是研究函数性质，解决实际问题的有效方法问题1：当环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，通过对实验数据的分析，它可以确定由环境温度值到人体代谢率各数值的一个函数，通过对这个函数的学习，我们体会到用函数能够刻画（社会的）人的代谢率与温度（自然的）的关系。问题2：总成本c，单位成本p，销售收入r，利润l都是产量x的函数。问题3：用“以直代曲”的办法，可确定电缆总长度的函数。通过以上实例可以看出函数作为描述变量之间依赖关系的数学模型在刻画现实问题中具有广泛的应用。小到一个人的成长过程，大到一个国家的人口增长；小到一架飞机的飞行路线，大到天体的运动轨迹；小到冰块的温度变化过程，大到全球温度的变暖，都可利用函数进行刻画和研究。 课堂练习1某市有甲乙两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费方式不同。甲家每张球台每小时5元，乙家按月计费，一个月中30小时（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分，每张球台每小时2元。某人准备下个月从这两家中的一家租一张球台，开展活动。其活动时间不少于15小时，也不超过40小时；设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15x40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15x40）。 （1）写出f（x）和g（x）的解析式。 （2）假设你和你的同伴想去该人处进行乒乓球训练，按时间来算，你们该怎样选择，费用比较低？提示：利用f（x）=g（x）解方程得出x；在同一坐标系中利用函数图象相交，直接观察、分析、概括。达标检测1电信局为了满足客户不同需要，设有a、b两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示，（其中mn/cd）方案bpncd方案a （1）分别求出方案a、b应付话费（元）与通话时间x（分钟）的函数表达式f（x）和g（x）。 （2）假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客