第二章第二节曲面的参数方程.doc

第二章 曲面论第二节 曲面的参数方程一、 曲面的参数方程设曲面是由显式所表示。设是曲面上的点，记向量，则它们可构成一一对应。于是曲面上的点可以用向量值函数来表示，也可以写为参数形式 。 一般地，设，其中参数，这里是中的一个区域。我们称由，所构成的中点集为一张参数曲面，（即曲面，可以表示为参数方程表示的点集。）记为 ，（1）把（1）用分量表示出来，就是 ，（2）通常，我们称（1）是曲面的向量方程，而（2）是曲面的参数方程。显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。二、 几个用参数方程表示的常见曲面例1 平面的参数方程，设是一个固定的点，与是自出发的两个不平行的向量。这时，由与张成的平面可以用向量方程，来表示；写成分量表示为，即方程组，有非零解，所以，有 。例2 球心在坐标原点，半径为的球面，有参数方程，其中参数的变化范围是，参数的意义，分别表示纬度和经度，见图所示。 例3椭球面，的参数方程表示为这里， 。三、 曲面参数方程表示的几何意义。（曲线坐标）1. 平面到曲面的映射曲面 ， （2）即映射，也就是说，任给定一点,代入方程（2）可算得上的一点，其中。当然，不同的参数对可能对应着上的同一点，这时曲面出现自交的现象。2. 曲线坐标网用分别平行于轴和轴的直线，将分成网格，则在曲面得到对应的曲线网。实例，切菜条，切土豆丝，撑开的鱼网面，编织袋曲面，棉布面，军事伪装网面等。现在，令，在参数区域上，这是一段平行于轴的直线，这时，将代入方程，得出，它是单参数的方程，对应着曲面上的一段曲线，这类曲线被称为曲面上的曲线（因为只有参数在变化），不同的就对应着不同的曲线，所有的曲线族就覆盖住了曲面。类似地，若令，那么曲面上的曲线称为上的曲线（因为只有参数在变化），不同的就对应着不同的曲线，所有的曲线族就覆盖住了整个曲面。一般地说，曲面上的一点，只有一条曲线和一条曲线通过。例如说，过曲面上的点只有曲线和曲线通过。我们说，是曲面上的点的曲线坐标，以后，我们干脆称是曲面上的点。让我们来看例2，这时球面上的曲线的方程是，它们是球面上的经线；而球面上的曲线的方程是，它们是球面上的纬线；当常数属于时，是北纬线；当常数属于时，是南纬线。 很明显，除了南极和北极两点之外，球面上的其他点只有唯一的一条经线和唯一的一条纬线通过。四、 曲面的切平面和法向量 是曲面上的曲线，偏导向量是曲面上的曲线的切向量；类似地，是曲面上的曲线的切向量。 特别地，偏导向量分别是曲面上的点处的曲线的切向量和曲线的切向量。为了进一步认识这两个向量和几何意义，我们继续开展下面的讨论。设是中的一段曲线，并设，。这一段曲线在映射之下，变成曲面上的一条曲线，它经过上的点，所以，我们可以直接称是上过这一点的曲线，它的向量方程是，对求导，由链式法则，可得，将代入上式，我们有，此式表示：曲面上过点的任何一条曲线，它在处的切向量，都是的线性组合，也就是说，曲面上过点的任何一条曲线在处的切线在同一平面上，它就是由这两个向量张成的平面，当然要设这两个向量不共线。我们把这个平面定义为曲面在处的切平面，切平面方程为，其中 。也可以写出切平面方程的一般形式。而把向量当成曲面在点处的一个法向量，因此，曲面在点处有法向量。法线的方程亦可写出来。法向量的计算公式：，（将此行列式按第一行展开） 。五、 曲面的第一基本量由于，记 ，。我们把，称为曲面的第一基本量。因此， 。从而是曲面上的单位法向量，用来记，即 ；也是曲面上的单位法向量。我们令。 补充知识：（1） 向量的内积设，定义，称为向量与的内积；记为或。可以证明： 。； 。（2） 向量的外积（或叉积）定义向量的大小为，且与垂直，方向为使，恰成右手坐标系，此向量称为与的外积，记为；在直角坐标系中，可以证明：设，则。外积的大小除了按上面的方法计算外，还有下面简便的计算。叉乘的性质： 混合积拉格郎日恒等式六、正则曲面设曲面的参数方程为 ，具有一阶连续偏导数，设，若，则称为曲面的上的正则点；否则，称为奇点；当曲面上的所有点都是正则点时，称为正则曲面。今后，凡是讲到曲面，都是指正则曲面。我们附加“正则”这一条件的原因，在于保证曲面上处处存在着切平面和法向量。七、举例例3 求球面的法向量。解：方法一设，曲面，