2013江南十校数学(理)答案(word版).pdf

2013 年安徽省年安徽省 江南十校江南十校 高三联考高三联考 数学 理科 参考答案数学 理科 参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 分 1 A 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C 8 A 9 B 10 D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 分 11 相交 12 4 13 34 14 15 2500 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分 分 16 本小题满分 12 分 解 由题可得 3 sin 4 xxf 2 分 3cos 3 sin 4 xxxg 3 分 3 cos3cos sin2 3cos cos 2 3 sin 2 1 4 2 xxx xxx 3 2sin 2 x 6 分 方法 1 0 12 x 3 2 23 2 0 x 8 分 要使函数在 xg 0 12 上的最大值为 2 当且仅当 23 2 0 解得 12 5 0 11 分 故 0 的最小值为 12 5 12 分 方法 2 设 2 2 3 2 2 2 kxk 解得 12 5 12 Zkkxk 得函数的增区间为 xg 12 5 12 Zkkk 8 分 取得的一个增区间0 k xf 12 5 12 此时的从 xf2 增加到 10 分 2 江南十校 数学 理科 试题答案 第 1 页 共 6 页 由题可得 0 的最小值为 12 5 12 分 17 本小题满分 12 分 解 由题可知 所选两人为 最佳组合 的概率 1 6 12 2 1 6 1 6 nn n C CC n n 3 分 则 2 1 1 6 12 nn n 4 分 化简得 解得014425 2 nn169 n 故n的最大值为 16 6 分 由题意得 的可能取值为 1 7 分 02 则 22 5 0 2 12 2 6 C C P 11 6 1 2 12 1 6 1 6 C CC P 22 5 2 2 12 2 6 C C P 0 1 2 P 22 5 11 6 22 5 10 分 1 22 5 2 11 6 1 22 5 0 E 12 分 18 本小题满分 12 分 证明 分别是上的两点 F E BCAD 1 BFAE 四边形ABFE为矩形 折叠后BFEFFCEF 即 EF平面 BFC 连接GF 902 1 1EGFABBFAE z y x A B C D E F G 由已知得 GCEG EG平面 6 分 CFG 由 知EGFC EFFC FC平面ABFE BFFC 7 分 方法一 如图建系则 A 1 0 2 C 0 2 0 D 0 1 2 xyzF 设 1n 为平面 ACD 的法向量 zyx 2 1 0 0 1 1 CDAD 02 0 zy yx 得 则令 zy xy 2 1 z得 1 2 2 1 n 9 分 又 0 0 1 2 n为平面 CDEF 的法向量 则 3 2 144 2 cos 21 nn 即 3 2 cos 12 分 设二面角为ECDA 江南十校 数学 理科 试题答案 第 2 页 共 6 页 方法二 延长与CDFE的延长线交于P点 过E作DPEH 垂足为H点 P H G F E D C B A 连结EH AH 则为二面角EHA ECDA 的平面角 设二面角ECDA 为 EH 5 2 5 3 1 AHAE DE 1 得EP 2 则由 AHEcos 3 2 即 3 2 cos 12 分 19 本小题满分 13 分 解 由题可知1 3 2 f 解得1 a 1 分 故x x xxfln3 2 2 2 1 x xx xf 由0 xf得 2 分 2 x 于是可得下表 x 2 3 2 2 3 2 3 2 3 x f 0 xf 2ln31 3 分 于是可得 4 分 2ln31 2 fxf 小 解 0 2332 2 2 2 x x xax xx axf 5 分 由题可得方程ax有两个不等的正实根 不妨设这两个根为 并令 023 2 x 2 21 xx 3 2 xaxxh 则 0 2 0 3 089 21 21 a xx a xx a 也可以 7 分 0 0 00 2 3 089 h a a a 解得 8 9 0 a 8 分 解 由 x x xxfln3 2 故 9 分 0 23 23 xxxxxF 0 263 2 xxxxF 设切点为 T 由于点 P 在函数的图像上 00 yx xF 1 当切点 T 不与点重合 即当 4 1 P1 0 x时 江南十校 数学 理科 试题答案 第 3 页 共 6 页 由于切线过点 则 4 1 P 263 1 4 0 2 0 0 0 xx x y 所以 263 1 423 0 2 000 2 0 3 0 xxxxxx 化简得 即 解得0133 0 2 0 3 0 xxx0 1 3 0 x1 0 x 舍去 12 分 2 当切点 T 与点重合 即 4 1 P1 0 x时 则切线的斜率 于是切线方程为5 1 Fk015 yx 综上所述 满足条件的切线只有一条 其方程为015 yx 13 分 注 若没有分 点 T 是否与点 P 重合 讨论 只要过程合理结论正确 本小题只扣 1 分 20 本小题满分 13 分 解 证明 由题可知 1 1 2 1 2 n nn aa 则 n nn aa 2 1 2 1 1 2 分 122 1 1 n n n n aa 故数列 n n a 1 2 是首项和公差都为 1 的等差数列 4 分 nan n 1 2 1 2 n n n a 6 分 由 1 2 n n n a可知 只需证 7 分 12lnlnln 21 n n bbb 证明 1 当时 左边1 n11 2 2 a 右边1ln e 则左边右边 2 当时 由题可知和 2 n nnn bbb 2 1 0 n b 则 10 分 nnnn bbbbln2ln 1 2 1 则 11 分 1 1 1 2 2 1 2ln2ln2ln2ln nn nnn bbbb 12 21 21 1 221lnlnln 1 21 n n n n bbb 综上所述 当 Nn时 原不等式成立 13 分 21 本小题满分 13 分 解 1 由题可知33 22 mmc双 故双曲线的焦点为 0 3 0 3 21 FF 2 分 x A O P C D B Q y 2 设点 M N 11 yx 22 yx 设直线l axty 代入并整理得 xy2 2 022 2 atyy 江南十校 数学 理科 试题答案 第 4 页 共 6 页 所以 3 分 ayy tyy 2 2 21 21 02 2 2 1 1 2 222 2 2121 2 21212121 aa aatat ayyatyyt yyatyatyyyxxONOM故 解得 5 分 2 a 由 1 得3 c 所以椭圆 E 的方程为1 4 2 2 y x 6 分 判断结果 恒成立 7 分 PBPA 证明 设 P 则 A 00 yx 00 yx D 2 1 00 yx 8 分 44 2 0 2 0 yx 将直线 AD 的方程 00 0 0 4 yxx x y y 代入椭圆方程并整理得 01696 4 2 0 2 0 2 0 2 00 22 0 2 0 xyxxyxxyx 9 分 由题可知此方程必有一根为 于是解得 0 x 0 2 0 2 0 2 00 4 6 x yx yx xB 所以 2 0 2 0 0 2 0 3 0 00 2 0 2 0 2 00 0 0 4 2 2 4 6 4yx yxy yx yx yx x y yB 11 分 所以 0 0 2 00 0 2 0 2 0 2 0 2 00 0 2 0 2 0 0 2 0 3 0 6 6 4 6 4 2 y x yx yx yx yx y yx yxy kPB 12 分 故1 0 0 0 0 x y y x kk PBPA 即PBPA 13 分 解法解法 2 判断结果 恒成立 7 分 PBPA 证明 过点 P 作直线 AP 的垂线 得与椭圆的另一个交点为 B 所以 要证 只要证 A D PBPA B 三点共线 设 P 则 A D 00 yx 00 yx 2 1 00 yx 8 分 44 2 0 2 0 yx B P 的方程 00 0 0 yxx y x y 代入椭圆方程并整理得 将直线 04 4 8 4 2 0 22 0 2 0 2 0 2 00 22 0 2 0 yyxxyxxxyx 10 分 由题可知此方程的一根为 解得 0 x 2 0 2 0 2 00 3 0 0 2 0 2 0 2 0 2 00 4 74 4 8 yx yxx x yx yxx xB 江南十校 数学 理科 试题答案 第 5 页 共 6 页 江南十校 数学 理科 试题答案 第 6 页 共 6 页 所以 2 0 2 0 0 2 0 3 0 0 2 0 2 0 2 00 3 0 0 0 0 4 2 4 74 yx yxy x yx yxx y x yyB 11 分 则 0 0 2 0 2 00 0 2 0 3 0 00 2 0 2 0 2 0 2 00 0 2 0 2 0 0 2 0 3 0 4 8 22 4 8 4 2 x y yxx yxy xx yx yxx y yx yxy k BA 12 分 又 0 0 00 00 4 2 1 x y xx yy kAD 所以 BAAD kk 故 BDA 三点共线 13 分 PBPA 解法解法 3 判断结果 恒成立 7 分 PBPA 证明 设 则 0011 yxPyxB 00 yxA 1 4 1 4 2 0 2 0 2 1 2 1 y x y x