四年级奥数等差数列求和一.doc

第三周 等差数列求和（一）数学故事： 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。 1+2+3+4+.+98+99+100=? 老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是男孩的算法.老师发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等差数列的方法，高斯的才华使老师彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。数列的基本知识：（1）1、2、3、4、5、6 公差： （2）2、4、6、8、10、12 公差： （3）5、10、15、20、25、30 公差： 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列，数列中的每一个数称为一项；第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项数；通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都是相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。 通项公式： 某一项=首项+（项数-1）公差 项数公式： 项数=（末项首项）公差 + 1 求和公式： 总和=（首项+末项）项数2 例题1： 已知数列2、5、8、11、14求它的第10项是多少？它的第98项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是2，公差是3，项数是10.要求第10项，可根据，某一项=首项+（项数-1）公差进行计算。第10项：2+3（10-1）=29 第98项： 2+3 （98-1）=293练习1：某一项=首项+（项数-1）公差（1）求等差数列：1、3、5、7、9它的第21项是多少?（2）求等差数列：2、6、10、14、18它的第60项是多少?（3）求等差数列：7、12、17、22它的第100项是多少?例题2：已知数列2、5、8、11、1435，这个数列共有多少项？ 【思路导航】第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差，那第n项比首项多（n-1)个公差。可根据，项数=（末项首项）公差 + 1进行计算，（35-2）3+1=12。所以，这个数列共有12项。练习2：项数=（末项首项）公差 + 1（1） 有一个等差数列：1、3、5、7、999，这个等差数列共有多少项？（2） 有一个等差数列：2、5、8、11101，这个等差数列共有多少项？（3） 有一个等差数列：11、16、21、261001，这个等差数列共有多少项？例题3：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38=? 【思路导航】这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4原数列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38倒过来的和：38+ 34 + 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6 44 44 44 44 44 44 44 44 44 这里一共有9个44相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。等差数列的和=（首项+末项）项数2 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 =（6+38）92 =4492 =198练习3：总和=（首项+末项）项数2 （1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37 （2）1+2+3+4+5+.+50（3）493+494+495