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1 重积分 第八章 一 关于二重积分计算 二 关于三重积分在直角坐标系下计算 三 关于二重积分的应用 2 一 重积分常见题目类型 1 一般重积分的计算 a 选择坐标系 使积分域多为坐标面 线 围成 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离 b 确定积分序 积分域分块要少 累次积分易算为妙 列不等式法 投影穿线 c 写出积分限 累次积分法 d 计算要简便 充分利用对称性 应用换元公式 一 关于二重积分计算 3 2 改变累次积分的积分次序 题目要求改变积分次序或按原积分次序积不出来 必须改变积分次序 3 求平面图形D的面积 4 求由曲面所围立体的体积 5 用二重积分求曲面的面积 4 6 重积分性质的应用题 二 重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1 交换积分顺序的方法 2 利用对称性简化计算 3 消去被积函数绝对值符号 4 被积函数为1时巧用其几何意义 5 其中函数 在区间上连续 三 利用直角坐标系计算二重积分 1 X 型域 X 型区域的特点 穿过区域内部且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 1 预备知识及二重积分公式推导 6 若积分区域为X 型域 方法 根据二重积分的几何意义以及计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法来求 7 即得 公式1 8 几点小结 a b x 9 2 Y 型域 Y 型区域的特点 穿过区域内部且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 10 公式2 11 3 既非X 型域也非Y 型域 在分割后的三个区域上分别都是X 型域 或Y 型域 如图 则必须分割 由二重积分积分区域的可加性得 2 二重积分的计算步骤可归结为 画出积分域的图形 标出边界线方程 根据积分域特征 确定积分次序 根据上述结果 化二重积分为二次积分并计算 12 1 使用公式1必须是X 型域 公式2必须是Y 型域 2 若积分区域既是X 型区域又是Y 型区域 为计算方便 可选择积分次序 必要时还可交换积分次序 则有 3 若积分域较复杂 X 型域或Y 型域 说明 可将它分成若干 13 例1 解 看作X 型域 D既是X 型域又是 Y型域 法1 3 利用直角坐标系计算二重积分题类 14 看作Y 型域 法2 15 例2 解 D既是X 型域又是 Y型域 法1 16 法2 注意到先对x的积分较繁 故应用法1较方便 注意两种积分次序的计算效果 17 例3 解 D是Y 型域也可以视X 型域 先求交点 18 法1 视为X 型域 计算较繁 本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果 法2 计算简单 19 例4 解 X 型 20 例5 解 先去掉绝对值符号 如图 21 例6 解 分析 交换积分次序 若直接计算 积分比较困难 注意被积函数 作业P152 同济p154 22 四 利用极坐标系计算二重积分 首先分割区域D 两组曲线将D分割成许多小区域 用 1 极坐标系下二重积分表达式 23 将典型小区域近似看作矩形 面积 长 宽 则面积元素 扇形弧长 径向宽度 24 则 二重积分极坐标表达式 可得下式 注意 极坐标系下的面积元素为 直角坐标系下的面积元素为 区别 25 2 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 1 极点O在区域D的边界曲线之外时 26 若区域特征如图 特别地 27 2 极点O恰在区域D的边界曲线之上时 区域特征如图 1 的特例 28 区域特征如图 3 极点O在区域D的边界曲线之内时 2 的特例 一般在什么情况下利用极坐标计算二重积分呢 29 解 3 利用极坐标系计算二重积分 30 解 的原函数不是初等函数 故本题无法 注 1 由于 用直角坐标计算 31 解 32 例4 计算二重积分 其中 1 D为圆域 2 D由直线 解 1 利用对称性 围成 33 2 积分域如图 将D分为 添加辅助线 利用对称性 得 34 例6 解 作业P153 同济p155 35 4 补充 改变二次积分的积分次序例题 例1 交换下列积分顺序 解 积分域由两部分组成 视为Y 型区域 则 36 例2 计算 其中D是由直线y x及抛物线y2 x所围成 解 积不出的积分 无法计算 37 例3 解 38 作业P153 同济p155 39 二 三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 以下只限于叙述计算方法 1 直角坐标下2 柱面坐标下3 球面坐标下 方法1 投影法 先一后二 方法2 截面法 切片法 先二后一 先假设连续函数 最后 推广到一般可积函数的积分计算 将三重积分化为三次积分 40 方法1 投影法 先一后二 如图 z轴 41 得 X 型域 42 注意 此式称为先对z 次对y 最后对x的三次积分 得计算公式 1 43 2 若交点多于两个 也可像处理二重积分那样 将 分割 化为部分区域上的三重积分之和 3 也可把 投影到yoz面或zox面上 便可把三重积分化为其它顺序的三次积分 要求平行于x轴或y轴且穿过闭区域 内部的直线与 的边界曲面S相交不多于两点 44 例1 解 如图 X 型域 作直线穿越 内部 45 故 则 46 解 得交线投影区域 47 解 如图 48 例4 解 如图示 49 方法 截面法 切片法 先二后一 先二后一 法的一般步骤 50 Dz之面积 作业 同济P164 4 5 51 1 若积分区域为D 三 关于二重积分的应用 一 立体的体积 概念p138 52 例1 解 由对称性 其中 Flash动画演示 2 例题 53 例1 求球体 被圆柱面 所截得的 含在柱面内的 立体的体积 解 由对称性可知 机动目录上页下页返回结束 54 例2 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V 解 设两个直圆柱方程为 利用对称性 考虑第一卦限部分 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 55 1 设曲面的方程为 在D上偏导数连续 设光滑曲面 则面积A可看成曲面上各点 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为d 称为曲面S的面积元素 则 二 曲面的面积 56 故有曲面面积公式 即 2 若光滑曲面方程为 则有 3 若光滑曲面方程为 则有 57 解 动