比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理.doc

黄金分割及平行线分线段成比例一、黄金分割黄金分割如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点AC与AB的比叫做黄金比黄金比黄金比值的求法：因为，且BCABAC，所以，解得AC，或AC0.618AB，即得黄金比或0.618求作黄金分割点求已知线段AB的黄金分割点。方法一：如图 1、经过点B作BDAB，且BD= 2、连接AD，在DA上截取DEDB 3、在AB上截取ACAE， 所以点C是线段AB的黄金分割点理由：设AB1，则BD1/2,AD， AC，BC 所以 ，所以点C是线段AB的黄金分割点方法二：如图1、在线段AB上作正方形ADCB 2、取AD的中点E，连接EB3、延长DA至F，使EFEB 4、以线段AF为边作正方形AFGH所以点H是线段AB的黄金分割点理由：设AB1，则AE，所以 AH，BH所以，所以点H是线段AB的黄金分割点方法三：如图1、以AB为腰作等腰ABD，使A362、作ADB的角平分线交AB于点C所以，点C是线段AB的黄金分割点理由：作图的理由在本章学完就知道，对这一基本图形我们将会非常熟悉，此等腰三角形叫做黄金三角形例1：如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？、例2：以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PFPD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，（1）求AM，DM的长，（2）试说明AM2=ADDM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？练习题一、请你填一填（1）如图，若点P是AB的黄金分割点，则线段AP、PB、AB满足关系式_，即AP是_与_的比例中项. （2）黄金矩形的宽与长的比大约为_（精确到0.001）.（3）如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2 cm,b=4 cm,c=5 cm,则d=_cm.（4）已知O点是正方形ABCD的两条对角线的交点，则AOABAC=_.二、认真选一选1、有以下命题:如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项如果点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，那么AC是AB与BC的比例中项如果点C是线段AB的黄金分割点，ACBC，且AB=2，则AC=1其中正确的判断有（ ）A.1个B.2 个 C.3个D.4个2、已知P为线段AB的黄金分割点，且APPB，则（ ）A、； B、； C、； D、3、.已知点M将线段AB黄金分割(AMBM)，则下列各式中不正确的是( )A. AMBM=ABAM B. AM=AB C. BM=AB D. AM0.618ABA.1个B.2个 C.3个D.4个4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB10cm，则PQ长为（ ） A、 B、 C、 D、三、好好想一想1、已知点C是线段AB的黄金分割点AC，且ACBC，求线段AB与BC的长。AEFB2、E、F为线段AB的黄金分割点，已知AB10 cm，求EF的长度 3、如果一个矩形ABCD(ABBC)中，0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图1)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.二、平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果，则，.2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果，则_A_B_C_D_E_E_D_C_B_A3. 平行的判定定理：如上图，如果有，那么 。专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，且,若，求的长。 【例2】 如图，已知，若，求证：.【巩固】如图，垂足分别为、，和相交于点，垂足为.证明：.【巩固】如图，找出、之间的关系，并证明你的结论.【例3】 如图，在梯形中， ，过对角线交点作 交于，求的长。【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形中，分别是的中点，交于，交于，求的长。 专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则_.（2）如图（2），已知中，与相交于，则 的值为（ ）A. B.1 C. 【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.（1）当时，求的值 。 （2）当时，求的值；（3）试猜想时的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，是的中线，点在上，是延长线与的交点.（1）如果是的中点，求证：；（2）由（1）知，当是中点时，成立，若是上任意一点（与、 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知中，是边上的中线，是上的一点，且，延长交于。求证：。【例7】 （宁德市中考题）如图，中，为边的中点，延长至，延长交的延长线于。若，求证:。【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， 中，若分别是的中点，则；若分别是的中点，则；若分别是的中点，则；若分别是的中点，则_.专题三、利用平行线转化比例【例8】 如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与、及的延长线分别相交于点、和.求证：【巩固】已知，如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线，的延长线交于求证：【例9】 已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对边、于、，求证：【例10】 在中，底边上的两点、把三等分，是上的中线，、分别交于、两点，求证：【例11】 如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.求证：.【例12】 已知：如图，在梯形中，是的中点，分别连接、，且与交于点，与交于.（1）求证：（2）若,，求的长 【巩固】如图，在梯形中，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长。【例13】 （山东省竞赛题）如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，