高中数学第四章对数函数的性质与图像（第2课时）对数函数的性质与图像的应用学案新人教B版.docx

第2课时对数函数的性质与图像的应用考点学习目标核心素养对数函数的概念进一步加深理解对数函数的概念数学运算对数函数的性质掌握对数函数的性质及其应用逻辑推理、数学运算对数值的大小比较比较下列各组中两个值的大小(1)ln 0.3，ln 2；(2)loga3.1，loga5.2(a0，且a1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3，log3.【解】(1)因为函数yln x是增函数，且0.32，所以ln 0.3ln 2.(2)当a1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，又3.15.2，所以loga3.1loga5.2；当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，又3.15.2，所以loga3.1loga5.2.(3)法一：因为0log0.23log0.24，所以，即log30.2log40.2.法二：如图所示由图可知log40.2log30.2.(4)因为函数ylog3x是增函数，且3，所以log3log331.同理，1loglog3，所以log3log3.比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较 1设alog32，blog52，clog23，则()Aacb BbcaCcba Dcab解析：选D.利用对数函数的性质求解alog32log331；clog23log221，由对数函数的性质可知log52log32，所以bac，故选D.2已知alog23.6，blog43.2，clog43.6，则()Aabc BacbCbac Dcab解析：选B.alog23.6log43.62，函数ylog4x在(0，)上为增函数，3.623.63.2，所以acb，故选B.对数函数单调性的应用求函数ylog(1x2)的单调增区间，并求函数的最小值【解】要使ylog(1x2)有意义，则1x20，所以x21，即1x1，因此函数ylog(1x2)的定义域为(1，1)令t1x2，x(1，1)当x(1，0时，若x增大，则t增大，ylogt减小，所以x(1，0时，ylog(1x2)是减函数；同理当x0，1)时，ylog(1x2)是增函数故函数ylog(1x2)的单调增区间为0，1)，且函数的最小值yminlog(102)0.(1)求形如ylogaf(x)的函数的单调区间，一定要树立定义域优先意识，即由f(x)0，先求定义域(2)求此类型函数单调区间的两种思路：利用定义求证；借助函数的性质，研究函数tf(x)和ylogat在定义域上的单调性，从而判定ylogaf(x)的单调性 设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1，2 B0，2C1，) D0，)解析：选D.f(x)2或0x1或x1，故选D.与对数函数有关的值域与最值问题求下列函数的值域：(1)ylog2(x24)；(2)ylog(32xx2)【解】(1)ylog2(x24)的定义域为R.因为x244，所以log2(x24)log242.所以ylog2(x24)的值域为2，)(2)设u32xx2(x1)244.因为u0，所以00，且a1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下：(1)分解成ylogau，uf(x)两个函数(2)求f(x)的定义域(3)求u的取值范围(4)利用ylogau的单调性求解 (2019厦门检测)若函数f(x)axloga(x1)在0，1上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于_解析：当0a1时，f(x)在0，1上为增函数，所以f(x)maxf(1)aloga2，f(x)minf(0)1，于是1aloga2a，解得a，与a1矛盾综上，a.答案：对数函数性质的综合应用已知函数f(x)loga(a0且a1)，(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性【解】(1)要使此函数有意义，则有或解得x1或x1，此函数的定义域为(，1)(1，)(2)f(x)logalogalogaf(x)又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)为奇函数f(x)logaloga(1)，函数u1在区间(，1)和区间(1，)上单调递减所以当a1时，f(x)loga在(，1)，(1，)上递减；当0a1时，f(x)loga在(，1)，(1，)上递增(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称(2)求函数的单调区间有两种思路：易得到单调区间的，可用定义法来求证；利用复合函数的单调性求得单调区间 已知函数f(x)loga(1x)，g(x)loga(1x)，其中(a0且a1)，设h(x)f(x)g(x)(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(3)2，求使h(x)0成立的x的集合解：(1)因为f(x)loga(1x)的定义域为x|x1，g(x)loga(1x)的定义域为x|x1，所以h(x)f(x)g(x)的定义域为x|x1x|x1x|1x1函数h(x)为奇函数，理由如下：因为h(x)f(x)g(x)loga(1x)loga(1x)，所以h(x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)h(x)，所以h(x)为奇函数(2)因为f(3)loga(13)loga42，所以a2.所以h(x)log2(1x)log2(1x)，所以h(x)0等价于log2(1x)log2(1x)，所以解之得1x0.所以使得h(x)0成立的x的集合为x|1x01函数yln x的单调递增区间是()Ae，) B(0，)C(，) D1，)解析：选B.函数yln x的定义域为(0，)，在(0，)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，)2设alog54，b(log53)2，clog45，则()Aacb BbcaCabc Dbac解析：选D.因为1log55log54log53log510，所以1alog54log53(log53)2b.又因为clog45log441.所以cab.3函数f(x)的定义域是()A(1，)B(2，) C(，2)D(1，2解析：选D.由题意有解得1x2.4函数f(x)的值域为_解析：当x1时，logxlog10，所以当x1时，f(x)0.当x1时，02x21，即0f(x)2.因此函数f(x)的值域为(，2)答案：(，2)5函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_答案：A基础达标1若lg(2x4)1，则x的取值范围是()A(，7 B(2，7C7，) D(2，)解析：选B.因为lg(2x4)1，所以02x410，解得2x7，所以x的取值范围是(2，7，故选B.2已知logmlogn0，则()Anm1 Bmn1C1mn D1nm解析：选D.因为01，logmlogn0，所以mn1，故选D.3函数f(x)|logx|的单调递增区间是()A. B(0，1C(0，) D1，)解析：选D.f(x)的图像如图所示，由图像可知f(x)的单调递增区间为1，)4已知实数alog45，b，clog30.4，则a，b，c的大小关系为()Abca BbacCcab Dcba解析：选D.由题知，alog451，b1，clog30.40，故cba.5函数f(x)lg是()A奇函数 B偶函数C既奇又偶函数 D非奇非偶函数解析：选A.f(x)的定义域为R，f(x)f(x)lglglglg 10，所以f(x)为奇函数，故选A.6如果函数f(x)(3a)x，g(x)logax的增减性相同，则a的取值范围是_解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则即1a2，若f(x)，g(x)均为减函数，则无解综上，a的取值范围是(1，2)答案：(1，2)7不等式log(5x)log (1x)的解集为_解析：由解得2x1.答案：x|2x0且a1，函数yalg(x22x3)有最大值，求函数f(x)loga(32x)的单调区间解：设tx22x3(x1)22.当xR时，t有最小值2.所以lg(x22x3)的最小值为lg 2.又因为yalg(x22x3)有最大值，所以0a1.由f(x)loga(32x)，得其定义域为.设u(x)32x，x，则f(x)logau(x)因为u(x)32x在上是减函数，所以f(x)logau(x)在上是增函数所以f(x)loga(32x)的单调增区间为.B能力提升11若a0，且log0.25(a21)log0.25(a31)，则实数a的取值范围是()A(0，1)(1，) B(0，1)C(1，) D1，)解析：选C.因为log0.25(a21)log0.25(a31)，所以a2a3，即a2(1a)0，所以a1，故选C.12已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上为增函数，f0，则不等式f(logx)0的解集为_解析：因为f(x)是R上的偶函数，所以它的图像关于y轴对称因为f(x)在0，)上为增函数，所以f(x)在(，0)上为减函数，作出函数图像如图所示由f0，得f0.所以f(logx)0logx或logxx2或0x，所以x(2，)答案：(2，)13求函数f(x)log2(4x)log，x的值域解：f(x)log2(4x)log(log2x2)(log2x)2log2x2设log2xt.因为x，所以t1，2，则有y(t2t2)，t1，2，因此二次函数图像的对称轴为直线t，所以函数y在上是增函数，在上是减函数，所以当t时，有最大值，且ymax.当t2时，有最小值，且ymin2.所以f(x)的值域为.C拓展探究14已知函数f(x)loga(1x)l