2.1空间点、直线、平面之间的位置关系.doc

21空间点、直线、平面之间的位置关系一、目标认知学习目标：1利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及直观图；掌握平面的基本性质及作用；2了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法；理解并掌握公理4；理解并掌握等角 定理；异面直线所成角的定义、范围及应用；3了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系；4培养空间想象能力.重点：1平面的概念及表示；平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言；2异面直线的概念；公理4及等角定理；3空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.难点：平面基本性质的掌握与运用；异面直线所成角的计算；用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.二、知识要点梳理知识点一：平面的基本概念1对平面概念的理解：平面是最基本的概念，可以用它来定义其它概念，但不能定义它.平面的基本特征是无限延展性.2平面的画法：通常画平行四边形表示平面；注意：(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线 或者不画；3平面的表示法：(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；4点、直线、平面的位置关系：(1)点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；(2)点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；(3)直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作；知识点二：平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.1公理1：(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；(2)符号语言表述：，；(3)图形语言表述：(4)作用：判断直线是否在平面内的依据.2公理2：(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；(2)符号语言表述：、三点不共线有且只有一个平面，使得，；(3)图形语言表述：(4)公理2的推论： 过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； 过两条相交直线，有且只有一个平面； 过两条平行直线，有且只有一个平面.(5)作用：确定一个平面的依据.3公理3：(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；(2)符号语言表述：且；(3)图形语言表述：(4)作用：两平面相交的依据.知识点三：空间两直线的位置关系1空间两条直线的位置关系：(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.3异面直线的判定方法：利用定义判断两直线不可能在同一平面内；4平行直线：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；符号表示为：，.公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5异面直线所成的角：概念：直线a、b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线，把与所成的锐角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直.异面直线所成角的取值范围是；求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.知识点四：直线和平面的位置关系1直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.如果直线a和平面平行，记作.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表述：，且.2直线和平面相交：如果一条直线和一个平面只有一个公共点，那么这条直线和这个平面相交.如果直线a和平面相交与点，记作.3直线在平面内：如果一条直线上的所有的点都在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，记作.知识点五：两个平面的位置关系1两个平面平行没有公共交点；若平面平行于平面，记作，如下图：2两个平面相交有一条公共直线.三、规律方法指导1点线共面的证明所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.(1)证明点线共面的主要依据： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内； 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(2)证明点线共面的常用方法： 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、 重合； 反证法.(3)具体操作方法： 证明几点共面的问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面，再证明其余点都在这个平面内； 证明空间几条直线共面问题可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面，再证明其余直线均在这 个平面内.2证明三点共线问题所谓点共线就是证明三个点或三个以上的点在同一条直线上.(1)证明三点共线的依据是公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这 些公共点的集合是一条过这个公共点的直线，也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在 这两个平面的交线上. 对于这个公理应进一步理解下面三点： 如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线； 如果两个相交平面有三个公共点，那么这三个点共线； 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.(2)证明三点共线的常用方法 先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上； 选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.经典例题透析类型一：证明共面问题1求证：两条相交直线确定一个平面.思路点拨：公理2用于确定一个平面.证明：如图：已知直线，在上任取与A不重合的一点B，在a上任取与A不重合的一点C，则A、B、C三点不共线，由公理2，A、B、C三点确定一个平面，设为；B、A点在直线上，且B、A点在上，由公理1，；同理；两条相交直线a、确定一个平面.总结升华：证明点线共面的主要依据：1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.举一反三：【变式1】已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【答案】如图证明：因为ab，由公理2的推论，存在平面，使得，.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则，在平面内过点C作，因为，则，这与矛盾，故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.【变式2】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，求证：直线AB、BC、CA共面.思路点拨：先依据公理2，由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1,证三条直线在平面内.注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证.常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面，因为，所以.同理，.所以AB，BC，CA三直线共面.【变式3】在正方体中，（1）与是否在同一平面内？（2）点B，D是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.解：（1）在正方体中， ，由公理2的推论可知， 与可确定平面， 与在同一平面内.（2）点B，D不共线，由公理“过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面”可知，点B，D可确定平面， 点B，D在同一平面内.（3），点O平面，平面， 又平面，平面， 平面平面， 同理平面平面.类型二：三点共线问题2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD（四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和HG交于点P，如图所示，求证：点B、D、P在同一条直线上思路点拨：由题设，我们很容易知道B，D在平面ABD和平面CBD交线上，现只需再证明P也在两平面交线上即可证明：如上图， 直线EF直线HG=P， P直线EF，而EF平面ABD， P平面ABD同理，P平面CBD，即点P是平面ABD和平面CBD的公共点显然，点B、D也是平面ABD和平面CBD的公共点，由公理3知，点B、D、P都在平面ABD和平面CBD的交线上，即点B、D、P在同一条直线上总结升华：证明三点共线通常采用如下方法：1首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在交线上2选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上 举一反三：【变式1】已知ABC在平面外，AB=P，AC=R，BC=Q，如图所示求证：P、Q、R三点共线思路点拨：应用公理3，选择恰当的平面，只要证明点都是某两个平面的公共点，即可推出三点在两个平面的交线上证明： AB=P， PAB，P平面又 AB平面ABC， P平面ABC 由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上 P、Q、R三点共线总结升华：证明多点共线问题，找出相关的平面与平面的交线，由公理3，说明这些点都在这两个平面的交线上即可【变式2】如图所示，在正方体中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线思路点拨：可根据公理3，如果两个平面有一个公共点，它们就有过这点的一条交线，也只有这一条交线；这条直线的位置还需借助于另一个条件来确定解析：在平面AA1D1D内，延长D1F， D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则PFD1，PDA又 FD1平面BED1F，AD平面ABCD， P平面BED1F，P平面ABCD又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， 连接PB，PB即为平面BED1F，与平面ABCD的交线总结升华：公理3是两个平面相交的性质，它说明两个平面相交，交线是一条直线要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线。同时要注意，找到两个平面的一个公共点，交线的具体位置还无法判定，只有找到两个公共点，才能确定这两个平面的交线。这是作几何体截面时确定交线经常用到的方法.【变式3】已知正方体，画出满足条件的截面多边形.（1）过和的中点、和顶点的截面多边形；（2）过、和的中点、的截面多边形.思路点拨：画两个平面交线的方法就是找出两个平面的两个公共点，然后经过这两个公共点画一条直线，这条直线就是两平面的交线.解：（1）画法如下： 连结，分别交、的延长线于点、. 连结、，分别交、于点、. 连结、. 则多边形即为所求截面多边形. （2）画法如下： 连结，分别交、的延长线于点、. 连结，分别交的延长线和于点、. 连结，分别交、于点、. 连结、. 则多边形即为截面多边形. 类型三：异面直线所成的角3如图，正方体，E、F分别是、的中点.（1）求直线和所成的角的大小；（2）求直线和所成的角的大小. 思路点拨：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易.解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.解：（1）如图，连结， 和所成的锐角就是和所成的角. ，和所成的角是45.（2）如图，连结、， ，是直线和EF所成的角. 是等边三角形，=60，即直线和EF所成的角是60.总结升华：求异面直线所成角的一般步骤是：1选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线.这里的点通常选择特殊位置的点，如线 段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条上的一个特殊点.2将这个角放入某个三角形中.3在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易 求此角的大小. 举一反三：【变式1】（2010全国）直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于A30 B45 C60 D90解：C分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则，所以异面直线与所成的角为DEF（或其补角），设，则，由余弦定理得，故选C【变式2】已知空间四边形ABCD各边长相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.解：如图所示：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N，连结PM、PN，由三角形的中位线性质知PNAB，PMCD，于是MPN就是异面直线AB和CD成的角.连结MN、DN，设AB=2，PM=PN=1.而AN=DN=，由MNAD，AM=1，得MN=，MPN=90.异面直线AB、CD成90角.学习成果测评基础达标：一、选择题1（2010浙江）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则2下列说法正确的是()A空间四边形的对角线可能相交B四个角都是直角的四边形一定是平面图形C两两相交的三条直线一定共面D在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面.3下列命题中正确的是()A空间不同的三点确定一个平面B空间两两相交的三条直线确定一个平面C空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()A异面B平行C相交D以上都有可能5把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为()A12B24C36D486垂直于同一条直线的两条直线()A异面B平行C相交D以上都有可能7下列说法正确的是()A若直线在平面内，则直线上所有的点都在平面内；B若直线上有无数个点不在平面内，则直线与平面平行；C若直线上有两个点在平面内，则直线不一定在平面内；D若直线与平面相交，则直线与平面有无数个公共点8若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是()A内所有直线都与a异面B内不存在与a平行的直线C内所有直线都与a相交D平面与直线a有公共点9正方体中，AB的中点为M，的中点为N，异面直线与CN所成的角是()A30B90C45D6010若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数()A有限个B无限个C没有D没有或无限个二、填空题1不共面的四点可以确定_个平面；2三个平面两两相交，交线有_条；3正六面体中，与面的对角线异面的棱有_条；4如图，正方体中，直线AB1与BC1所成角为_度.三、解答题1已知，求证.2A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，AC=BD，求EF与BD所成的角.能力提升：一、选择题1（2010北京西城一模）如图，平面平面，直线l，A，C是a内不同的两点，B，D是 内不同的两点，且A，B，C，D直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点下列判断正确的是A当|CD|2|AB|时，M，N两点不可能重合BM，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行2用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是()A三 B四 C六 D八3（2010陕西八校模拟）设a、b、c是空间三条直线，、是空间两个平面，则下列命题中，逆命 题不成立的是A当时，若，则B当时，若，则C当，且c是a在内的射影时，若，则D当，且时，若，则bc4两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是()A一定是异面直线B一定是相交直线C可能是平行直线D可能是异面直线，也可能是相交直线二、填空题1（2010江苏如皋模拟）给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面、的四个命题：（1），点，则与m不共面；（2）l、m是异面直线，且，则；（3）若，则；（4）若，则其中真命题是_（填序号）2已知正四棱锥侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角 的大小为_.3右图是正方体平面展开图，在这个正方体中： BM与ED平行； CN与BE是异面直线； CN与BM成60角； DM与BN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号依次是_；4一个平面把空间分成_部分，两个平面可以把空间分成_部分，三个平面可以把空间 分成_部分三、解答题1在平面外，；求证：P，Q，R三点共线.2已知四边形ABCD中，ABCD，四条边AB，BC，DC，AD(或其延长线)分别与平面相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线.3已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点(如右图)，求证：(1)对角线AC、BD是异面直线；(2)直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上.综合探究：设异面直线a与b所成的角为50，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是()的直线有且仅有几条?答案解析：基础达标：一、1. B解析：选项A，由一条直线垂直于一个平面内的一条直线得不到这条直线垂直于这个平面；选项B，两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；选项C，一条直线平行于一个平面，得不到这条直线平行于这个平面内任意一条直线；选项D，两条直线同时平行于同一平面，这两条直线可能平行、相交或异面故选B2B3D4D5B6D7A8D9B10D二、1423或136460三、1又而2(1)证明：用反证法.设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面