14-3利用旋转的思想解决其他几何问题、平移＋旋转.doc

14-3利用旋转的思想解决其他问题旋转使得几何元素的位置发生变化，往往伴随着边与角的重新组合，其中涉及勾股定理的逆定理、角度加减及线段的最大值最小值问等题。1、 关于旋转的思考 掌握数学思想方法可从两个方面入手，一是归纳重要的数学思想方法。二是归纳重要题型的解题方法。在旋转这部分，需要掌握两个图形，很多中考题、中考模拟题都是从这两个图形演变过来的。扩展：共顶点的顶角相等的等腰三角形形成旋转全等如图：在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE，BAC=DAE，则ABDACE例1:等边ABC，P是ABC形内一点，连结PA、PB、PC，以点A为旋转中心，将ABP逆时针旋转60度，可以得到APD为等边三角形，可以将PA、PB、PC三边组成一个新三角形PCD,已知PA、PB、PC的长可以求出APB、 APC、BPC当P点的位置发生变化时（点P在ABC的外部）当变换背景为等腰直角三角形或正方形时2、 旋转与角的加减、勾股定理逆定理问题 旋转伴随的几何元素的位置的变化会使得这些元素重新组合，会产生新的角或者新的多边形。例1(1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰的斜边上取两点、，使，记，则以、为边长的三角形的形状是_。 A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随、的变化而变化 例2(通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在中，点、分别为线段上两动点，若探究线段、三条线段之间的数量关系小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 课堂练习：(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长_。 如图所示，为正方形内一点，若，.求： 的度数； 正方形的边长.三、平移旋转例1（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3关于几何变换的辅助线表述问题：在严格证明的问题中不能只说“平移”、“翻折”、“旋转”，要说明作辅助线的具体内容：“过某点作 ”；“延长到点，连接”；“在上截取= ，连接”；“作= ，在截取=，连接”.四、线段最大值最小值、角的度数与旋转22. （本题满分4分）阅读下面材料：阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在ABC（其中BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边PBC，求AP的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B为旋转中心将ABP逆时针旋转60得到ABC,连接,当点A落在上时,此题可解（如图2）请你回答：AP的最大值是 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰RtABC边AB=4,P为ABC内部一点， 则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简）22. 阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求BPC的度数小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将BPC绕点B逆时针旋转90，得到了BPA（如图2），然后连结PP请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1) 图2中BPC的度数为 ；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则BPC的度数为 ，正六边形ABCDEF的边长为 作业（2007广州）已知RtABC中，AB=AC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：BM=DM且BMDM；（2）如图中的ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。（2011朝阳一模）25已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点M是CE的中点，连接BM. （1）如图，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ； （2）如图，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图 图 （丰台12）24已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ； （2）将图1中的ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 （密云）24已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC