高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法1学案含解析.docx

第一课时空间向量与平行、垂直关系平面的法向量提出问题1如图(1)所示，直线lm，在直线l上取两点A，B，在直线m上取两点C，D.2如图(2)所示，直线l平面，直线lm，在直线m上取向量n.问题1：与直线l有何关系？与直线l有何关系？提示：在直线l上，与直线l平行问题2：图(2)中，n与直线l平行吗？提示：平行问题3：l，向量n也垂直于吗？提示：垂直导入新知1直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量2平面的法向量直线l，取直线l的方向向量a，则a叫做平面的法向量化解疑难平面的法向量是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.空间平行关系的向量表示提出问题由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置问题1：若直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，当au时，l与有什么关系？若au呢？提示：au时，l；au时，l或l.问题2：若u，v分别是平面，的法向量，则uv，uv时，分别是什么位置关系？提示：uv时，；uv时，.导入新知1线线平行设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmababa1a2，b1b2，c1c2(R)2线面平行设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则lauau0a1a2b1b2c1c20.3面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uvuva1a2，b1b2，c1c2(R)化解疑难平行关系的判断(1)若证线线平行，则利用方向向量平行来证明；(2)若证线面平行，则证直线的方向向量与平面的法向量垂直；(3)若证面面平行，则证两平面的法向量平行.空间垂直关系的向量表示提出问题问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？提示：垂直问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示：垂直导入新知1线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmab0a1b1a2b2a3b30.2线面垂直设直线l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量是u(a2，b2，c2)，则lauaua1a2，b1b2，c1c2(R)3面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则uvuv0a1a2b1b2c1c20.化解疑难垂直关系的证明(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直.求平面的法向量例1已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，求平面的一个法向量解因为A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，所以(1，2，4)，(2，4，3)设平面的法向量为n(x，y，z)，则有即得z0，x2y.令y1，则x2，所以平面的一个法向量为n(2,1,0)类题通法利用待定系数法求法向量的解题步骤活学活用四边形ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC2，AD1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SAB和平面SCD的一个法向量解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)AD平面SAB，(1,0,0)是平面SAB的一个法向量设平面SCD的法向量为n(1，y，z)，则n(1，y，z)(1,2,0)12y0，y.又n(1，y，z)(1,0,2)12z0，z.n即为平面SCD的一个法向量.用空间向量证明平行问题例2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)(1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.类题通法利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明活学活用在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点求证：PQRS.证明：法一：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，(3,2,1)，(3,2,1)，PQRS.法二：，RSPQ.利用空间向量证明垂直问题例3如图，在四棱锥EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD2，BCE120.求证：平面ADE平面ABE.证明取BE的中点O，连接OC，则OCEB，又AB平面BCE，以点O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示则由已知条件有C(1,0,0)，B(0，0)，E(0，0)，D(1,0,1)，A(0，2)设平面ADE的法向量为n(a，b，c)，则n(a，b，c)(0,2，2)2b2c0，n(a，b，c)(1，1)abc0.令b1，则a0，c，n(0,1，)又AB平面BCE，ABOC，OC平面ABE，平面ABE的法向量可取为m(1,0,0)nm(0,1，)(1,0,0)0，nm，平面ADE平面ABE.类题通法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行，或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.活学活用在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF平面B1AC.证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)法一：(1，1,1)，(0,2,2)，(2,2,0)，(1，1,1)(0,2,2)0，(1，1,1)(2,2,0)0，EFAB1，EFAC，又AB1ACA，EF平面B1AC.法二：设平面B1AC的法向量为n(x，y，z)又(0,2,2)，(2,2,0)，则令x1，可得平面B1AC的一个法向量为n(1,1，1)又n，n，EF平面B1AC.典例(12分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P平面C1DE.解题流程活学活用如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PD平面ABCD，AD1，AB，BC4.(1)求证：BDPC；(2)设点E在棱PC上，若DE平面PAB，求的值解：如图，在平面ABCD内过点D作直线DFAB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA，DF，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1，0)，D(0，0,0)，C(3，0)(1)证明：设PDa，则P(0,0，a)，(1，0)，(3，a)，330，BDPC.(2)由题意知，(0，0)，(0,0，a)，(1,0，a)，(3，a)，(3，a)，(0,0，a)(3，a)(3，aa)设n(x，y，z)为平面PAB的法向量，则即令z1，得xa，n(a,0,1)DE平面PAB，n0，3aaa0，即a(14)0.a0，.随堂即时演练1若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(3，6,3)，则()ABC，相交但不垂直 D以上均不正确解析：选Av3u，.2已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且平面ABC，则等于()A. B.C. D.解析：选B由0得352z0，z4.又平面ABC，即解得.3已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，且l，则m_.解析：l，l的方向向量与的法向量垂直(2，m,1)2m20.解得m8.答案：84下列命题中：若u，v分别是两个不同的平面，的法向量，则uv；若u，v分别是平面，的法向量，则uv；若u是平面的法向量且向量a与共面，则ua0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正确命题的序号是_解析：正确；正确；中，u，a所在直线与平面平行或在平面内，ua，ua0，正确；正确答案：5.如图，已知PA矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量；(2)若PDA45，求证为平面PCD的一个法向量解：(1)取PD的中点E，连接NE，AE，N是PC的中点，NE綊DC.又DC綊AB，AMAB，AM綊CD，NE綊AM，四边形AMNE是平行四边形，MNAE.为直线MN的一个以A为起点的方向向量(2)证明：在RtPAD中，PDA45，APAD，AEPD.又MNAE，MNPD.PA平面ABCD，PACD.又CDAD，CD平面PAD.AE平面PAD，CDAE.又MNAE，CDMN，MN平面PCD.为平面PCD的一个法向量课时达标检测一、选择题1若n(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0，3,1)B(2,0,1)C(2，3,1) D(2,3，1)解析：选D问题即求与n共线的一个向量，即n(2，3，1)(2,3，1)2已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z等于()A3 B6C9 D9解析：选Cl，v与平面平行，uv，即uv0，13(3)(2)z10，z9.3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量中能作为平面ABC的一个法向量的是()A(1,1，1) B(1，1,1)C(1,1,1) D(1，1，1)解析：选D(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y1，z1.故平面ABC的一个法向量是(1，1，1)4在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A解析：选B建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E.，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)(1)(1)010，CEBD.5如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：选CA1M，D1P，A1MD1P，从而A1MD1P，可得正确又因为B1Q与D1P不平行，故不正确二、填空题6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)解析：由于(1)2(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，所以正确答案：7在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1，2cos 2x2,0)和点Q(cos x，1,3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_解析：由OPOQ，得0.即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0，x或x.答案：或8如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE_.解析：建立如图所示的坐标系，则B1(0,0,3a)，D，3a，C(0，a,0)设E(a,0，z)(0z3a)，则，(a,0，z3a)由题意得2a2z23az0，解得za或2a.故AEa或2a.答案：a或2a三、解答题9.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.(1,1，1)，设F(x，y，z)，则(x，y，z1)，.，x0，即xyz0.又，可设，x，y，z1.由可知，x，y，z，.(1)设n1(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有即取z1