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文档简介
随机变量向量的数字特征 协方差和相关系数 协方差和相关系数 五 随机向量的数字特征 一 随机向量的数学期望1 定义 设 X1 X2 Xn T是n维随机向量 而且每个随机变量Xi的期望EXi都存在 i 1 2 n 称 EX1 EX2 EXn T为 X1 X2 Xn T的期望向量 或均值向量 2 设g X Y 是随机变量X Y的函数 且E g X Y 存在 1 如果 X Y 离散是随机变量 联合概率分布为piji j 1 2 则E g X Y 特别 注意 边缘概率分布 协方差和相关系数 2 如果 X Y 是连续随机变量 联合概率密度为f x y 则 E g X Y 思考 与一维函数的数学期望比较 特别 注意 边缘密度函数 方差定义 求离散型方差定义公式 求连续型方差定义公式 方差的常用公式 3 随机变量和与积的数学期望和方差 1 设随机变量 X1 X2 Xn 的期望EXi都存在 则E X1 X2 Xn EX1 EX2 EXn 2 设X与Y独立 期望EX EY都存在 则E XY EX EY 对于任意有限个独立随机变量也成立 即X1 X2 Xn相互独立 且期望都存在 则E X1 X2 Xn EX1 EX2 EXn 注意 上述性质的逆命题不成立 即如果X与Y满足E XY EX EY 那么X与Y不一定独立 3 设随机变量X与Y独立 方差都存在 则D X Y DX DY对于任意有限个独立随机变量也成立 即X1 X2 Xn相互独立 且方差都存在 则有D X1 X2 Xn DX1 DX2 DXn 注意 上述性质在一维随机变量中介绍过 协方差和相关系数 随机向量的期望 例 设随机变量X与Y独立 且X服从 0 2 上的均匀分布 Y服从参数为3的指数分布 则E XY 方法1 利用随机变量函数的期望公式计算 因为X与Y独立 且 所以 X Y 的联合概率密度为 所以 方法2 利用重要分布的数字特征和期望的性质计算 因为E XY E X E Y 又 所以 比较两法 很明显说明 熟悉期望性质和重要分布的数字特征公式对计算随机变量函数期望很有利 协方差和相关系数 例1 已知二维向量 X Y 的概率分布由确定 判断 1 X与Y是否独立 2 E XY 与EXEY是否相等 解 先求出X与Y的边缘分布P Y 1 0 3 0 1 0 4 P Y 0 0 0 2 0 2 P Y 1 0 3 0 1 0 4 P X 1 0 3 0 0 3 0 6 P X 1 0 1 0 2 0 1 0 4P X 1 Y 0 0 由于P X 1 Y 0 P X 1 P Y 0 所以X与Y不独立EX 1 0 6 1 0 4 2 EY 1 0 4 0 2 1 0 4 0 所以 EX EY 0 E XY 1 1 0 3 1 1 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 0 可以看出E XY E X E Y 但是X与Y不独立 还可以用D X Y 是否等于D X D Y 协方差和相关系数 例 设随机变量 X Y 的联合密度为 1 求k 2 E XY 由联合密度的性质可知 k 2 例 设X表示10次独立重复射击命中目标次数 且每次命中概率为0 4 求E X2 由题意知X B 10 0 4 故E X 4 D X 2 4 又有E X2 D X E X 2 18 4 该题计算利用了方差的计算的公式及二项分布的数字特征公式 二 随机变量的相关系数和相关性两个随机变量的相关性是概率和数理统计的重要概念 是统计相依性最简单的形式之一 由两个随机变量的联合数字特征 相关系数来表征 随机变量的相关性的分析 相关分析 在经济问题中有重要的应用 1 定义 设两个随机变量X与Y的期望和方差都存在 则称cov X Y E X EX Y EY EXY EX EY为X与Y的协方差若 X Y 是离散型随机向量 联合分布为P X xi Y yj pij i j 1 2 则 协方差和相关系数 cov X Y 若 X Y 是连续型随机向量 联合密度函数为f x y 则 cov X Y 注意 从协方差的定义 可以想象和理解求协方差的公式 2 协方差的一些基本性质 1 cov X X DX cov Y Y DY 2 cov X Y cov Y X 3 cov aX bY abcov X Y 4 cov c Y cov X c 0 c为任意常数 5 cov X1 X2 Y cov X1 Y cov X2 Y 6 D X Y DX DY 2cov X Y 7 当X与Y相互独立 cov X Y 0 故D X Y DX DY证明 D X Y cov X Y X Y cov X X Y cov Y X Y cov X X cov X Y cov Y X cov Y Y cov X X 2cov X Y cov Y Y DX DY 2cov X Y DX DY 8 D aX1 bX2 cX3 a2DX1 b2DX2 c2DX3 2abcov X1X2 2accov X1X3 2bccov X2X3 X1X2X3两两独立 D aX1 bX2 cX3 a2DX1 b2DX2 c2DX3 协方差和相关系数 cov X Y E X EX Y EY EXY EX EY 协方差和相关系数 例2 X与Y的联合分布如表 求cov X Y 求X与Y的边缘分布和XY的分布 P XY 2 P X 2 Y 1 0 15 P XY 1 P X 1 Y 1 0 3 P XY 0 P X 0 Y 1 P X 0 Y 0 P X 0 Y 2 P X 1 Y 0 P X 2 Y 0 0 1 0 2 0 0 05 0 0 35 P XY 2 P X 1 Y 2 0 1 P XY 4 P X 2 Y 2 0 1 EX 0 0 3 1 0 45 2 0 25 0 95 EY 1 0 55 0 0 25 2 0 2 0 15 EXY 2 0 15 1 0 3 0 0 35 2 0 1 4 0 1 0 cov X Y EXY EX EY 0 95 0 15 0 1425 求离散型联合分布的协方差 协方差和相关系数 例3 设连续型随机向量 X Y 的密度函数 求cov X Y 和D X Y 解1 当0 x 1时 4x 1 x2 当x1时gX x 0 所以 当0 y 1时 当y1时 所以 EX EY EXY Cov XY E XY E X E Y 注意 计算时与求离散的一样 先求出边缘分布 再用公式cov X Y EXY EX EY 求连续型联合分布的协方差 协方差和相关系数 解2 EX2 DX EX2 EX 2 EY2 注意 一般X Y不独立 DY EY2 EY 2 D X Y DX DY 2cov XY 3 协方差矩阵 ij n n称为随机向量Xi Xj i j 1 2 n 的协方差 i j 和方差 i j 构成的矩阵 协方差和相关系数 称为随即变量 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 协方差矩阵为对称矩阵 因为 ij ji 例3 已知随机变量X与Y的联合分布为 协方差和相关系数 求X与Y的协方差矩阵 解 EX 1 0 6 1 0 4 0 2 EY 2 0 4 1 0 3 0 5 EX2 1 2 0 6 12 0 4 1 EY2 2 2 0 4 12 0 3 1 9 11 DX EX2 EX 2 1 0 04 0 96 22 DY EY2 EY 2 1 9 0 25 1 65 EXY 1 2 0 3 1 1 0 18 1 2 0 1 1 1 0 12 0 34 12 cov X Y EXY EXEY 0 34 0 2 0 5 0 24 协方差和相关系数 4 相关系数相关矩阵 1 定义 假设随机变量X与Y的方差存在 并且均不为零 称 为相关系数 1 X与Y的相关系数就是标准化随机变量 的协方差 故叫标准协方差 2 设X与Y为任意两个随机变量 他们的相关系数存在 则有 XY 1 3 如果随机变量Y是X的线性函数 即Y aX b 则当a 0时 XY 1 当a 0时 XY 1 注意 例3 X Y为两个随机变量 且Y aX ba 0a与b均为常数 DX存在且不为零 求 XY Cov X Y cov X aX b acov X X aDXDY D ax b a2DX 协方差和相关系数 X与Y之间存在线性函数关系 XY 1 P y aX b X与Y几乎线性相关 XY 0 X与Y不相关 注意4 假设随机变量Y是X的相关系数为 2 若 0 称X与Y为不相关的 1 若 0 称X与Y为相关的 特别当 0时 称X与Y为正相关的 注意5 两个方差存在的独立随机变量 其相关系数为零 即X与Y独立 0 当 0时 称X与Y为负相关的 注意 该命题的逆命题不成立 二维随机变量及其分布 二维正态分布 P 53 常用正态二维分布的联合密度函数为 其中 1 2 1 2 为常数 1 0 2 0 1 1 关于X的边缘密度函数为 其中 做代换 得到 关于Y的边缘密度函数为 二维随机变量及其分布 二维正态分布独立性 设 X Y 服从上述联合密度的二维正态分布 证明X Y相互独立等价与 0证设 0 这时X Y的联合密度为 由二维正态分布的重要结论知 则 因此X Y相互独立 反之 设X Y相互独立 则 即 从而得到 0 于是得证 注意6 二维正态分布X Y相互独立等价与 0 即X与Y独立 0 协方差和相关系数 例6 设 X Y 的联合密度函数为 求cov X Y 和 XY 解 EX EX2 E XY DX EX2 EX 2 EY EY2 DX EY2 EY 2 Cov X Y E X EX Y EY E XY EX EY 协方差和相关系数 DX EX2 EX 2 DY 2 Cov X Y EXY EX EY EXY 解 X与Y的联合分布 所以 X与Y不相关 0 所以X与Y也不是独立的 又P X 2 Y 2 0 P X 2 P Y 2 例4 设 X Y 等可能地取 2 0 0 2 2 0 0 2 试求X与Y是否独立 是否相关 EX EY 注意 X与Y独立 0 但是 0不能断定X与Y独立 例5 设 X Y 在圆域x2 y2 1上服从均匀分布 试求X与Y独立是否独立 是否相关解 根据题意知X Y的分布密度函数为 协方差和相关系数 所以cov X Y EXY EXEY 0X与Y不相关 同理 显然 故在圆域x2 y2 1内f x y fX x fY y 不衡成立 因此X与Y不独立 EX 0 奇函数在对称区间积分为0 EXY 0 1 0 不独立也不 线性 相关 即有其他的除线性外的相关 3 相关矩阵设 X1 X2 Xn 是n维随机向量 其任何两个分量Xi与Xj的相关系数 ij都存在 i j 1 2 n 则以为 ij元素的n阶矩阵称为该随机向量 X1 X2 Xn 的相关矩阵 协方差和相关系数 显然 相关矩阵也是对称矩阵的非负定称矩 记作R 即 由于cov Xi Xi DXi 因此有 1 例6 已知X与Y的协方差矩阵V 求相关矩阵R 其中 解 由于 11 22 1 12 21 因此有 例7 已知随机变量X的期望EX 方差DX 2 且Y 3 4X 求X与Y的协方差矩阵和相关矩阵 解 v11 DX 2 v22 DY D 3 4X 16 2 由注意3知道 XY 1 即 12 21 1 协方差和相关系数 v12 v21 因此 协方差和相关系数 练习题 1 X Y 是二维随机向量 且D X 25 D Y 36 XY 0 6 求 1 D X 2Y 2 D X Y 2 二维随机向量 X Y 有D X 4 D Y 9 cov X Y 4 求 X Y 的相关系数 XY 解 解 1 已知X Y是两个相互独立的随机变量 已知X在 0 2 上服从均匀分布 Y服从参数为2的指数分布 则EXY D 2X 3Y 协方差和相关系数 练习题 解 由已知得 EX 1 DX EY DY EXY EXEY 1 D 2X 3Y 4DX 9DY 均匀分布EX b a 2DX b a 2 12 指数分布EX 1 DX 1 2 2 二维随机向量 X Y 在区域D x y 0 x 1 y x 内服从均匀分布 Z 2X 4 则EZ DZ 协方差和相关系数 练习题 解 联合密度函数为 EX DX EX2 EX 2 EZ E 2X 4 2EX 4 2 4 DZ D 2X 4 4DX 3 已知X与Y相互独立且均服从N 0 2 设U aX b V cX dY 其中a b不全为零 c d不全为零 则U V的相关系数 UV DU D aX bY a2DX b2DY 2 a2 b2 DV D cX dY c2DX
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