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文档简介

轴对称与辅助线下面尝试从轴对称的角度来探索几何证明中辅助线的作法。例1. 如图1，在中，ABAC，D点在BA的延长线上，E在AC上，且ADAE，DE交BC于F，求证：分析：欲证，由ABAC联想到等腰三角形的三线合一定理，可作AH平分，则，然后再证DF/AH。证明：过A作AH平分，交BC于H小结：本题作三角形顶角的平分线，实质上就是构造了两个关于角平分线所在直线对称的三角形。例2. 如图2，在中，AD是的角平分线，求证：分析：要证，则需把AC分成两条线段，然后分别证它们与AB、BD相等。可在AC上截取，再证证明：在AC上截取，连结DEAD是的角平分线又小结：本题在角平分线的两侧构造了成轴对称的两个三角形。题中所用方法通常称之为截长法，本题也可在AB延长线截取构造与对称的三角形，我们通常把这种方法称之为补短法。与角平分线有关问题的常用辅助线是在角的边上截长或补短，构造成轴对称的两个三角形。例3. 如图3，在中，AD是BC边上的高线，求证：分析：本题与上题结论类似，换成在DC上截证证明：在DC上截，连AEAD是BC边上的高线又小结：本题实质上是将高线左边的三角形沿高线翻折到高线的另一边，也是构造成轴对称来解题，与高线有关的问题常借助上述方法来作辅助线。例4. 如图4，在中，BD是的角平分线，交BD的延长线于H，求证：分析：由，BD是的角平分线可以看到与对称的左下的三角形呼之欲出，只要将CH、BA延长即可构造出关于BH或轴对称的另两个三角形。证明：延长CH、BA交于点F，BD是的角平分线小结：此题还是从轴对称图形的考虑出发作出辅助线的。例5. 如图5，在中，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且，求证：分析；要证，可能要用三边关系定理，而这三条线段较散，必须把它们集中起来。由，可利用对称性把沿FD翻折到右边形成即可。证明：延长ED至DM，使，连FM、CM显然，D是BC的中点显然，在中，小结：利用对称把条件相对集中是作辅助线的常见思路。例6. 如图6，是等边三角形，A、E分别在BD、BC的延长线上，且，求证
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