信号与系统王明泉第四章习题解答.doc

第4章 拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.1 学习要求（1）深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域及基本性质；会根据定义和性质求常用信号的拉普拉斯变换；（2）正确理解拉普拉斯变换的时移、频移、时域微分、频域积分、初值定理、终值定理等性质及其应用条件；（3）能应用部分分式法和常用的拉普拉斯变换对求解拉普拉斯反变换；（4）掌握复频域方法分析线性时不变系统，求解系统的全响应、零输入响应、零状态响应和单位冲激响应；（5）正确理解复频域法中，输入、系统状态与响应的关系，理解复频域方法与频域方法的异同点和各自的优缺点；（6）掌握系统的零极点分析。4.2 本章重点（1）单边拉普拉斯变换的定义和收敛域；（2）单边拉普拉斯变换及逆变换的计算；（3）单边拉普拉斯变换的性质及常用变换对的综合应用；（4）线性时不变系统的复频域分析方法；（5）系统函数与零极点的概念及s域系统特性分析；（4）与系统稳定性；4.3 本章的内容摘要4.3.1拉普拉斯变换（1）单边拉普拉斯变换的定义正变换 逆变换 式中，。（2）收敛域把使信号的拉氏变换存在的值的范围称为的收敛域（Region of Convergence），缩写为ROC，可以用下面极限表示： 上式表明，极限在条件下为零，在S平面上就是收敛域。称为收敛坐标，通过的垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴。如图4-1所示。图4.1 平面中的收敛域（3）常见函数的拉普拉斯变换如表4-1所示。表4. 1 常用函数的拉氏变换序号单边信号拉氏变换112（是正整数）3456（是正整数）789101112（是正整数）4.3.2 拉普拉斯变换的性质如表4-2所示。表4.2 拉普拉斯变换性质（定理）序号性质名称时域域1线性2时移特性3s域平移特性4时域微分特性5时域积分特性6s域微分特性7域积分特性8尺度变换特性9初值定理10终值定理11时域卷积定理12域卷积定理4.3.3拉普拉斯逆变换求的逆变换就是求一个复变函数积分，直接积分要熟悉复变函数理论，一般是比较困难的。但是，实际问题中，一般为的有理分式，可以将展开部分分式，然后利用单边拉普拉斯变换的性质并结合常用变换对求逆变换。这种方法称为部分分式展开法。含有高阶导数的线性、常系数微分（或积分）方程式将变换成的多项式，或变换成两个的多项式之比。它们都称为的有理式，一般具有如下形式式中，系数、都为实数，和是正整数。要把展开部分分式，必须先求出的根。为了便于分解，将写作以下形式 式中，为方程式的根，也称为的极点。同理，也可改写为式中，为方程式的根，也称为的零点。按照极点的不同特点，部分分式展开方法由以下几种情况：1、极点为实数，无重根其中，所以，2、包含共轭复数极点这种情况仍可以采用上述实数极点求分解系数的方法。式中，。令，则有3、有多重极点其中，单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求，这种方法称为留数法，也称为反演积分法。留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数在围线中所有极点的留数运算，即1、为有理真分式，且只有个单值极点 2、为阶有理真分式，且有阶重极点及阶单值极点 4.3.4拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系双边拉氏变换的积分限是取从到，而所乘因子为复指数，它涉及全部平面。如果不改变积分限，而是将复指数的取零值，也即局限于平面的虚轴，则得到傅立叶变换。双边拉氏变换为广义的傅立叶变换。如果不改变双边拉氏变换式中的复指数因子，但将积分限限制于0到就得到单边拉氏变换。在取傅立叶变换时，若当满足函数，并将乘以衰减因子也就成为单边拉氏变换。如果要从已知的单边拉氏变换求傅氏变换，首先应判明函数为有始信号，即当时，然后根据收敛边界的不同，按以下三种情况计算：（1）当时，只存在拉氏变换，不存在傅氏变换；（2）当时，既存在拉氏变换又存在傅氏变换。而且以代换，就可以由求，即；（3）当时，这时同时存在拉氏变换和傅氏变换，但不是简单的代换关系。这时由求，除把中的以代换外，还必须另外加上冲激函数及其各阶导数项。4.3.5 线性系统复频域分析（1）零状态响应系统的零状态响应可按以下步骤求解：(1) 求系统输入的单边拉普拉斯变换；(2) 求系统单位冲激响应的拉氏变换；(3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换，；(4) 求的拉普拉斯逆变换。（2）系统常系数微分方程的拉氏变换解拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为域的代数方程，便于运算和求解；同时，它将系统的起始状态自然地含于拉普拉斯变换方程中，既可分别求得零输入响应、零状态响应，并可求得系统的全响应。具体步骤如下：（1）对微分方程逐项求拉普拉斯变换；（2）对拉氏变换方程进行代数运算，求得系统的全响应的拉氏变换；（3）对响应的拉氏变换进行逆变换，得到系统的全响应，还可以得出系统的零状态响应和零输入响应。4.3.6 系统函数与系统特性（1）系统函数的定义系统零状态响应的拉氏变换与激励信号的拉氏变换之比称为系统函数，即：（2）由系统函数确定系统的单位冲激响应由于，当系统的激励为时，零状态响应为，故即系统的冲激响应与系统函数构成了一对拉普拉斯变换对，和分别从时域和复频域两个角度表征了同一系统的特性。（3）系统的域方框图表示根据拉普拉斯变换的性质，可以方便的得到时域中各运算符号在域中的模型。1、加法器，如图4. 1所示。2、标量乘法器，有两种表示形式，如图4. 2所示。3、积分器为了模拟微分方程表述的系统还需要积分器。在理论上积分器和微分器都可以用模拟动态连续系统，但是由于积分器抗干扰的性能比微分器好（特别是对脉冲式的工业干扰），所以在实现上往往使用积分器。 a图4. 1 加法器的域模型 图4. 2标量乘法器的域模型因为所以积分器的域模型如图4. 3（a）所示。当输入信号为因果信号时，因为，所以积分器如图4. 3（b）所示。两者物理系统相同，但含义各有区别。本章只讨论零状态的情形，因此用表示积分器，且认为系统起始状态为零。（a）起始状态为非零时的积分器域模型（b）起始状态为零时的积分器域模型图4. 3 积分器的域模型一个系统的域框图就是由上述各部件按一定的关系组合而成。在系统的框图表示中，若加法器输入端箭头旁是“”号，也可以省略不标。（4） 系统函数零点、极点分布与系统时域特性的关系式中，式中，为系统函数的零点；是系统函数的极点；为一常数。把系统函数的零点、极点都表示在复平面上，则称为系统函数的零、极点分布图。其中零点用“”表示，极点用“”表示。极点分布与时域函数的对应关系如表4.3和4.4所示，表4.3列出一阶极点的情况，表4.4列出二阶极点的情况。表4.3 极点分布与原函数波形对应（1）表4.4 极点分布与原函数波形对应（2）（5）系统函数零点、极点分布与系统频响特性的关系图4.4 和矢量假设系统函数的表示式为，令，也即，在平面中令只沿虚轴移动，得到。分母中任一因子相当于由极点引向虚轴上某点的一个矢量；分子中任一因子相当于由零点引向虚轴上某点的一个矢量。图4.4所示的是由零点和极点与连接构成的两个矢量，图中、分别表示矢量的模，、分别表示矢量的辐角。当沿虚轴移动时，各矢量的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。其中等于乘以所有零点矢量的模除以所有极点矢量的模，而等于所有零点相位及极点相位的代数和。这种方法也称为平面几何分析。（6）正弦稳态响应在系统理论中，正弦稳态响应是稳态响应中的一种重要概念。它是指系统在正弦信号时刻激励系统产生的稳态响应。设系统函数为，激励源为，则系统的正弦稳态响应为其中，和由系统函数在处的取值所决定。4.3.6系统的稳定性（1）系统稳定性的概念一个连续系统，如果对任意的有界输入产生的零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出（BIBO）意义下的稳定系统，简称稳定系统。（2）稳定系统的时域判决条件 （充要条件）对于因果系统，上式可改写为（3）对于因果系统，其稳定性的域判决条件 稳定系统：如果全部极点落于平面左半平面（不包括虚轴），则可以满足 （4.7.10）系统是稳定的。不稳定系统：如果的极点落于平面右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则在足够长时间以后，仍继续增长，系统是不稳定的。临界稳定系统：如果的极点落于平面虚轴上，且只有一阶，则在足够长时间后，趋于一个非零的数值或形成一个等值振荡。这处于上述两种类型的临界情况。4.5典型考试试题解析题1、根据图示系统信号流图，可以写出其转移函数H（s）= (a) (b) (c) (d) 答案：（b）题2、某一连续线性时不变系统对任一输入信号的零状态响应为，则该系统函数=_ _。答案：分析：根据复频域分析法题3、一线性时不变因果系统的系统函数为，系统稳定的条件是（ ）(a) 的极点在s平面的单位圆内； (b) 的极点的模值小于1；(c) 的极点全部在s平面的左半平面； (d) 为有理多项式。答案：（c）题4、的零点和极点中仅 决定了的函数形式。答案：极点题5、某连续时间线性系统由下列微分方程描述，用复频域分析法求该系统的全响应。 (已知系统是因果的)解：对方程两边同时求拉普拉斯变换，得 整理可得： 利用部分分式展开法，可得： 所以： 图题6、已知某系统的零、极点分布如图2所示，且其单位冲激响应h(t)的初值h( )=2,激励x(t)=sin()u(t).试确定：(1)(2)(3)在激励x(t)作用下的稳态响应。解：(1) 由零极点图可得，系统函数的极点为，零点为，所以，又 (2) 系统函数的极点在S平面的左边，所以 (3) 利用下图零极点图，可以得出根据系统对正弦稳态响应的性质，可得4.6本章习题全解4.1 求下列函数的拉普拉斯变换（注意：为变量，其它参数为常量）。（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19） （20）（21） （22）（23） （24）解： （2）（3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） (15) (16) (17) (18) ()(19) (20) (21) （22） （23） （24） 4.2 已知，求下列信号的拉普拉斯变换。（1） （2）（3） （4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）所以4.3 已知信号的拉普拉斯变换如下，求其逆变换的初值和终值。（1） （2）（3） （4）解（1）初值：终值： （2）初值：终值：（3）初值：终值：（4）初值：终值：4.4 求题图4.4所示信号的单边拉普拉斯变换。题图4.4解（1）所以根据微分性质所以注：该小题也可根据定义求解，可查看（5）小题（2）根据定义（3）根据（1）小题的结果再根据时移性质所以根据微分性质得（4）根据定义注：也可根据分部积分直接求取（5）根据单边拉氏变换的定义， 本小题与（1）小题的结果一致。（6）根据单边拉氏变换的定义，在是，对比（3）小题，可得4.5 已知为因果信号，求下列信号的拉普拉斯变换。（1） （2）（3） （4）解：（1）根据尺度性质再根据s域平移性质（2）根据尺度性质根据s域微分性质根据时移性质（3）根据尺度性质再根据s域平移性质（4）根据时移性质再根据尺度性质本小题也可先尺度变化得到，再时移单位，得到结果4.6 求下列函数的拉普拉斯逆变换。（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19） （20）（21） （22）（23） （24）解： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14）=（15） =（16） =（17）=（18）=（19） = （20）=（21）=（22）=(23) =(24) ()=4.7 求如题图4.7所示的单边周期信号的拉普拉斯变换。题图4.7（1） 矩形脉冲信号第一周期的时间信号为：则 (2) 第一个周期时间信号为 则 （3） 第一个周期时间信号为：则 (4) 一个周期内：则 4.8 已知线性连续系统的单位冲激响应为。（1）若系统输入，求系统的零状态响应；（2）若，求系统输入。解：将系统的单位冲激响应作拉氏变换得系统函数（1）系统输入的拉氏变换为根据系统的S域分析，所以零状态响应的拉氏变换为，所以（2）根据系统的S域分析，所以输入的拉氏变换为求拉氏反变换得4.9 已知系统微分方程为，求下列输入时的零状态响应。（1）； （2）；（2）。解：系统微分方程在零状态下两边做拉氏变换得整理得：（1）输入信号的拉氏变换为所以得做拉氏反变换得零状态响应（2）输入信号的拉氏变换为所以得做拉氏反变换得零状态响应（3）输入信号的拉氏变换为所以得做拉氏反变换得零状态响应4.10 利用拉普拉斯变换求解下列系统的系统函数、零状态响应、零输入响应和全响应。（1）。（2）（3）； （4）；，解： （1） 将系统方程两边拉氏变换得： （2）将系统方程两边拉氏变换得：把代入上式，（3） 系统函数：(4) 4.11 求下列微分方程描述的连续系统的零输入响应。（1）；（2）；（3）。解：（1）考虑输入，将微分方程两边做拉氏变换得代入初始条件， 整理得，做拉氏反变换得零输入响应（2）考虑输入，将微分方程两边做拉氏变换得代入初始条件， 整理得，做拉氏反变换得零输入响应（3）考虑输入，将微分方程两边做拉氏变换得代入初始条件， 整理得，做拉氏反变换得零输入响应4.12 已知连续系统的微分方程为，求在下列输入时的零输入响应、零状态响应和全响应。（1）；（2）；解：将系统方程两边拉氏变换得整理得即令状态，得零状态响应的拉氏变换为令，即，得零输入响应的拉氏变换为（1） 输入的拉氏变换，和初始状态得对上式求拉氏反变换得，零状态响应零状态响应完全响应（2） 输入的拉氏变换，和初始状态得对上式求拉氏反变换得，零状态响应零状态响应完全响应4.13 已知线性连续系统的系统函数和输入信号，求系统的完全响应。（1）；（2）。解：根据系统得s域分析，系统的零状态响应的拉氏变换为（1）所以根据系统方程可得二阶系统特征方程的系数为1，4，3所以系统的零输入响应的拉氏变换为所以求拉氏反变换得系统的完全响应为（2）所以根据系统方程可得三阶系统特征方程的系数为1，3，2，0所以系统的零输入响应的拉氏变换为所以求拉氏反变换得系统的完全响应为4.14 一线性系统，当输入为时，零状态响应为，求系统的单位冲激响应。解：输入的拉氏变换为，输出的拉氏变换为求反拉氏变换得系统的单位冲激响应4.15 已知系统的阶跃响应为，为使其零状态响应为，求激励信号。解： 4.16已知线性连续系统在相同的初始状态下，输入为时，完全响应为；输入为时，完全响应为；求在相同的初始状态下，输入为时系统的全响应。解：根据线性系统的s域分析可知，设系统函数为，零输入响应的拉氏变换为则有 （1） （2）其中， （3）， （4）将（3）、（4）代入（1）、（2）联立解得，所以输入为时，系统的全响应为4.17 已知系统函数，试求系统在下列信号激励时的稳态响应。（1）； （2）(1) 系统函数：系统的极点分别是 ，位于平面的左半平面，所以可得系统的频率响应函数所以系统的正弦稳态响应为(2) 系统函数：系统的极点分别是 ，位于平面的左半平面，所以可得系统的频率响应函数所以系统的正弦稳态响应为题图4.184.18 已知系统函数的零、极点分布如题图4.18所示，单位冲激响应的初值。（1）求系统函数；（2）求系统的频率响应函数；（3）求系统的单位冲激响应；（4）求系统在激励下系统的正弦稳态响应。解：（1）根据题图可知，系统函数的极点为，零点为根据系统函数的零极点，可写出零极点形式为利用初值定理得所以所以（2）系统的频率响应函数为（3）对求拉氏反变换得（4）所以，所以正弦稳态响应4.19 已知下列各系统函数，画出零、极点图，求单位冲激响应，画出波形，并判断系统是否稳定。（1）； （2）；（3）； （4）解：(1) 系统零极点图如下：该系统的所有极点都在左半开平面，所以系统稳定。(2) 系统零级点图如下：该系统的所有极点都在左半开平面，所以系统稳定。(3) 系统零极点图如下： 该系统的所有极点都在左半开平面，所以系统稳定。(4) 系统零极点图如下： 该系统有一个极点位于虚轴上，所以系统不稳定。4.20 线性系统如题图4.20所示，图中，。（1）求系统的系统函数和单位冲激响应；（2）若输入，求系统的零状态响应。题图4.20解：（1），根据题图可知，求拉氏反变换得单位冲激响应（2），所以求拉氏反变换得系统的零状态响应4.21 线性连续系统如题图4.21所示。（1）求系统函数；（2）为使系统稳定，求系数的取值范围；（3）在临界稳定状态下，求系统单位冲激响应。题图4.21解：根据题图的系统框图，可得出输入输出关系式整理得， 根据劳斯判据准则，要使系统稳定必须满足，这里的分别表示分母的各项系数所以系统稳定得条件为，即（3）在临界稳定状态下，此时，所以求拉氏反变换得系统单位冲激响应4.22某连续系统的分母多项式为：，为使系统稳定，应满足什么条件？解： 这是一个三阶系统，三阶系统稳定的充要条件是D(s)中全部系数非零，且同符号，而且还要求满足：所以根据题有： 4.23检验以下多项式是否为霍尔维兹多项式。（1）；（2）；（3）；解：(1) 根据罗斯霍尔维兹别准，排出罗斯阵列如下：第一行 1 4 4第二行 3 6 0第三行 2 4 0第四行 0 0 0罗斯阵列排列至此，出现一行元素全为0。可把第3行的一行元素写