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文档简介

1 3克莱姆法则 我们已经知道 在一定条件下 二元 或三元 线性方程组的解可以用二阶 或三阶 行列式表示出来 那么 对于n元线性方程组能否用n阶行列式来表示 1 克莱姆法则2 齐次线性方程组有非零解的充要条件 1 一 克莱姆法则 2 则该线性方程组有且仅有唯一解 其中Dj j 1 2 n 是把系数行列式D中第j列的元素用常数项b1 b2 bn代替后得到的n阶行列式 即 3 定理中包含三个结论 1 方程组有解 2 解是唯一的 3 解由公式 j 1 2 n 给出 注 用克莱姆法则解线性方程组必须有两个前提条件 1 未知数个数等于方程个数 2 系数行列式D 0 4 例1解线性方程组 解 方程组的系数行列式 27 0 5 由克莱姆法则知 方程组有唯一解 81 108 3 4 6 27 27 1 1 7 因为x1 0 x2 0 xn 0就是一个解 它称为零解 二 齐次线性方程组有非零解的充要条件 齐次线性方程组 显然 齐次线性方程组总是有解的 齐次线性方程组除了零解以外还有没有其它解 即非零解 8 定理三如果齐次线性方程组有非零解 则齐次线性方程组的系数行列式D 0 证 由克莱姆法则知齐次线性方程组只有唯一的零解 与已知矛盾 若D 0 D 0 9 由定理三可知 齐次线性方程组的系数行列式D 0是齐次线性方程组有非零解的必要条件 综合上述 得到 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式D 0 注 在第四章将会看到 D 0也是齐次线性方程组有非零解的充分条件 10 例2 取何值时 下述齐次线性方程组有非零解 解 3 2 齐次线性方程组有非零解 D 0 3或0 11
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