数值分析习题选讲.pdf

第一章第一章 1 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程中 一般要经历哪几个阶段 在哪些阶 段将有哪些误差产生 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程中 一般要经历哪几个阶段 在哪些阶 段将有哪些误差产生 答 计算结果数值方法数学模型实际问题 在数学模型阶段产生模型误差和观测误差 在数值方法阶段产生方法误差 传播误差和舍入 误差 第二章第二章 2 1 利用 Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式 结果要简化 利用 Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式 结果要简化 1 i x 101 21 i f 3 1 201 2 i x 101 21 i f 3 2001 2 解 2 方法一 由 Lagrange 插值公式 332211003 xlfxlfxlfxlfxL 1 3 1 2 1 1 2 1 2 3 2 1 0 xxx xxx xl 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 xx xxx xl 2 8 23 311 222 1 1 1 xx x lxxx 1 12 1 2 1 2 1 2 1 3 xxx xxx xl 可得 21 2 3 xxxL 证明 2 利用 Newton 插值多项式 0100 xxxxfxfxNn 100 nn xxxxxxf 0 010 1 xl xxxx xxxx xf n n 差商表 f x 一阶二阶 n 阶差商 0 x1 1 x0 10 1 xx 0 1 1020 xxxx n x00 1 010n xxxx 代入 式有 1 02010 10 10 0 n n n xxxxxx xxxx xx xx xN 0 xl为n次代数多项式 由插值多项式的唯一性 有 0 xNxl n 2 3 若1 37 xxxf 问 3 3 3 710 f 2 2 2 810 f 解1 37 xxxf 有 3 3 3 710 f 7 7 f 1 8 2 2 2 8 810 f f 0 2 4设y f x e2 4设y f x e x x x xi i 1 1 5 2 2 5 3 用三次插值多项式求f 1 2 及 f 2 8 的近似值 1 1 5 2 2 5 3 用三次插值多项式求f 1 2 及 f 2 8 的近似值 解相应的函数值及差分表如下 解相应的函数值及差分表如下 求f 1 2 用 Newton 前插公式 且由 1 2 1 0 5t 得t 0 4求f 1 2 用 Newton 前插公式 且由 1 2 1 0 5t 得t 0 4 求f 2 8 用 Newton 后插公式 且由 2 8 3 0 5t 得t 0 4求f 2 8 用 Newton 后插公式 且由 2 8 3 0 5t 得t 0 4 第四章 4 1求系数 第四章 4 1求系数 321 AAA和 使求积公式 使求积公式 1 1 321 3 1 3 1 1 fAfAfAdxxf 对于次数对于次数2 的一切多项式都是精确成立的的一切多项式都是精确成立的 解 求积公式 1 1 321 3 1 3 1 1 fAfAfAdxxf 是一个插值型求积公式 令 2 1 xxxf 得 2 321 AAA 0 3 1 3 1 321 AAA 3 2 9 1 9 1 321 AAA 解得 2 1 1 A 0 2 A 2 3 3 A 4 2确定参数4 2确定参数a使求积公式的代数精度尽可能地高使求积公式的代数精度尽可能地高 0 0 2 2 0 hffahhff h dxxf h 解令 n xxf 2 n得 111 2 1 1 1 nnnn hahh n an n 2 1 1 1 1 2 1 nn n a 公式对1 xf x精确成立 当2 n时 12 1 a 3 n时 12 1 a 4 n时 40 3 a 故 当取 12 1 a时 具有 3 次代精确度 4 3 求数值微分公式的余项4 3 求数值微分公式的余项 hhxfhxfxfxf2 2 4 3 0000 解 于 0 x hx2 0 hx 0 三点作 xf的 Lagrange 插值多项式 2 2 0 2 00 2 xf h hxxhxx xL 2 0 2 00 hxf h hxxxx 2 2 0 2 00 hxf h hxxxx 2 322 0 2 0 2 xf h hxx xL 222 0 2 0 hxf h hxx 2 2 22 0 2 0 hxf h hxx 令 0 xx 得 hhxfhxfxfxf2 2 4 3 0000 余项 因为 2 3 000 3 2 hxxhxxxx f xLxfxR 有 3 2 3 0200 h f xLxfxR 4 4 试给出试给出 a b上的复化梯形求积公式 并描述其自适应算法 上的复化梯形求积公式 并描述其自适应算法 解 记 Tn 为 n 等分 a b 后用复化梯形公式算得的积分值 于是 n k kkn xfxf h T 1 1 2 将 a b 作 2n 等分 则 2 12 111kkkkkk xxxxxx 此时 1kk xx 上的积分值为 2 2 2 2 2 12 11kkkk xfxf h xfxf h 于是 2 2 2 1 12 2 1 n k k k kn xfxfxf h T 其中nabh 由复化梯形公式的截断误差估计式 有 12 2 bafh ab TI nnn 2 12 22 2 2 baf hab TI nnn 当 n 充分大时 b a n dxxf ab f 1 从而 2nn ff 4 2 n n TI TI 即得 3 1 22nnn TTTI 可通过检验条件 2nn TT 预置的容许误差 来判断 n T2是否已满足精度要求 4 4 试给出试给出 a b上的复化梯形求积公式 并描述其自适应算法 上的复化梯形求积公式 并描述其自适应算法 解 记 Tn 为 n 等分 a b 后用复化梯形公式算得的积分值 于是 n k kkn xfxf h T 1 1 2 将 a b 作 2n 等分 则 2 12 111kkkkkk xxxxxx 此时 1kk xx 上的积分值为 2 2 2 2 2 12 11kkkk xfxf h xfxf h 于是 2 2 2 1 12 2 1 n k k k kn xfxfxf h T 其中nabh 由复化梯形公式的截断误差估计式 有 12 2 bafh ab TI nnn 2 12 22 2 2 baf hab TI nnn 当 n 充分大时 b a n dxxf ab f 1 从而 2nn ff 4 2 n n TI TI 即得 3 1 22nnn TTTI 可通过检验条件 2nn TT 预置的容许误差 来判断 n T2是否已满足精度要求 4 4 试给出试给出 a b上的复化上的复化 Simpson 求积公式 并描述其自适应算法 求积公式 并描述其自适应算法 解 记 Tn 为 n 等分 a b 后用复化梯形公式算得的积分值 于是 1 1 21 0 4 6 n nkkk k h Sf xf xf x 将 a b 作 2n 等分 则 11 21 21 kkkkkk xxxxxx 此时 1 kk xx 上的积分值为 k1 41 21 23 41 4 4 1212 kkkkk hh f xf xf xf xf xf x 于是 1 2 1 21 43 4 0 1 2 2 26 n nnkk k k h SSf xf xf x 其中nabh 由复化梯形公式的截断误差估计式 有 4 2 4 h 1802 nnn ba ISh fa b 4 4 222 4 1 18022 nnn ba h ISfa b 两试相减得 4 4 4 2n22 1 180216 nnnnnn ba h SSffa b 当 n 充分大时 4 4 1 b n a ffx dx ba 从而 4 4 2 nn ff 22 1 15 nnn ISSS 可通过检验条件 2 S nn S 预置的容许误差 来判断 2n S是否已满足精度要求 第五章第五章 5 4 用 Gauss 逐步消去法解方程组用 Gauss 逐步消去法解方程组 1 2 3 1210 2233 1302 x x x 解 消元 第 1 步 2 3 0 110 120 121 3 2 1 x x x 第 2 步 2 1 3 2 1 2 1 3 0 0 120 121 x x x 回代 1 1 1 321 xxx 5 5用列主元消去法解方程组用列主元消去法解方程组 0 3 5 232 011 120 3 2 1 x x x 解 第 1 步 5 3 0 120 011 232 3 2 1 x x x 第 2 步 1 1 22 3 2320 013 0215 x x x 第 3 步 3 5 0 10 120 232 3 2 1 2 1 x x x 第 4 步 4 17 3 2 1 4 3 5 0 00 120 232 x x x 回代 3 17 3 16 3 7 321 xxx 5 23 给定方程组 给定方程组 1 1 1 122 111 221 3 2 1 x x x 证明证明 Jacobi 迭代方法收敛而迭代方法收敛而 G S 迭代方法发散迭代方法发散 解 方程组 122 111 221 3 2 1 x x x 1 1 1 Jacobi 方法 迭代矩阵 1 1 ADDB 特征方程 0 det 1 BI 或 0 det det 1 ULDD 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 0 22 11 22 0 3 0 1 B Jacobi 方法收敛 Gauss Seidel 迭代方法 迭代矩阵 ULDB 1 2 0 det 2 BI 特征方程 或 2 B的特征化为下面方程的根 0 det ULD 即 0 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 0 22 1 22 022444 22223 044 23 0 2 2 0 1 2 2 1 重根 故 1 2 B Gauss Seidel 迭代方法发散 第六章第六章 6 1 估计矩阵估计矩阵 A 的特征值范围 其中的特征值范围 其中 解矩阵解矩阵 A 的的 3 个圆盘为个圆盘为 由定理由定理 8 可知 可知 A 的的 3 个特征值位于个特征值位于 3 个圆盘的并集中 由于个圆盘的并集中 由于 D1是孤立圆盘 所以是孤立圆盘 所以 D1 内恰好包含内恰好包含 A 的一个特征值的一个特征值 1 为实特征值为实特征值 即 即 A 的其它两个特征值的其它两个特征值 2 3包含在包含在 D2 D3的并集中的并集中 取对角矩阵取对角矩阵 做相似变换做相似变换 矩阵矩阵 A1 的三个圆盘为的三个圆盘为 显然 显然 3 个圆盘都是孤立圆盘 所以 每一个圆盘都包含个圆盘都是孤立圆盘 所以 每一个圆盘都包含 A 的一个特征值的一个特征值 为实特征值为实特征值 且有估计且有估计 1 100 010 000 9 D 1 10 19 410 10 0 90 94 AAD AD 123 19 41 41 8 9 EEE 1 2 3 35 1919 99 5 82 2 410 101 114 A 123 41 2 42 DDD 1 35 6 2用法计算矩阵幂用法计算矩阵幂 按模最大的特征值及相应的特征向量按模最大的特征值及相应的特征向量 第七章第七章 7 6为求方程为求方程 32 10 xx 在在 0 1 5x 附近的一个根 现将方程改为下列的等价形 式 且建立相应的迭代公式 附近的一个根 现将方程改为下列的等价形 式 且建立相应的迭代公式 1 2 1 1x x 迭代公式为 1 2 1 1 k k x x 2 32 1xx 迭代公式为 1 2 3 1 1 kk xx 3 2 1 1 x x 迭代公式为 11 2 1 1 k k x x 试分析每一种迭代公式的收敛性 任选一种收敛的迭代公式计算 1 5 附近的根 要求 5 1 10 kk xx 解 取5 1 0 x的邻域 6 1 3 1 来考察 1 2 1 1 x x 33 3 1 22 x x 1901 0 故迭代公式 1 收敛 36164 1593 642 2 3 1 2 1 xx 1 3 2 3 2 2 x x x 3 2 2 3 11 3 6 1 2 5515 0 故迭代公式 2 也收敛 3 1 1 x x 1 2 1 2 3 x x 2 3 16 1 2 1 10758287 1 故迭代公式 3 发散 由于 0 x 越小 越快地收敛于根 故 2 式收敛最快 7 10证明方程证明方程 3 6120f xxx 在区间在区间 2 5 内有唯一实根内有唯一实根p 并对任意的初 始值 并对任意的初 始值 0 2 5 x Newton 序列都收敛于 Newton 序列都收敛于p 解因 f x在 2 5 上满足定理 7 7 的所有条件 2 5 13280ff 对 2 2 5 360 60 xfxxfxx 4 83 3 3 3 75 f af b faf b 故由定理 7 7 知结论成立 7 17利用非线性方程组的 Newton 迭代方法 利用非线性方程组的 Newton 迭代方法 1 解方程组 22 12 22 12 40 10 xx xx 分别取 0 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 x 2 解方程组 22 12 23 121 30 310 xx x xx 分别取 0 0 8 0 4 0 8 0 4 0 8 0 4 0 8 0 4 x 要求迭代到 5 2 1 10 2 1 kk xx为止 解 1 22 12 22 12 4 1 xx F x xx 12 12 2 2 2 2 xx G x xx 分别造取初始近似值 0 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 TTTT x 按以下 Newton 法进行迭代 1 1 kkkk xxGxF x 达到精度 1 5 2 0 5 10 kk xx 时近似解结果见下表 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 n 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 01 6000001 200000 1 6000001 200000 1 600000 1 2000001 600000 1 200000 11 5812501 225000 1 5812501 225000 1 581250 1 2250001 581250 1 225000 21 5811391 224745 1 5811391 224745 1 581139 1 2247451 581139 1 224745 31 5811391 224745