常微分方程习题课.pdf

32 1 x yyxy 求方程满足 求方程满足 1 0 1 3 yy 的解 的解 yxyu uyyxy 解 令 解 令 xyu 可得代入方程化为 可得代入方程化为 22 1 11 x uuC ux 1 11 C yxyx 1 2 3 C 方程化为方程化为由初始条件得由初始条件得 3 23 x yxy x 得得 13 0 32 yyx xx 2 ln 32 x yx C x 由公式解得 由公式解得 2 1 0 0 yC 由 得 由 得 ln 32 x yx x 所以解为 所以解为 2 某学生忘记了求导法则 某学生忘记了求导法则 错误的认为 但侥幸碰对了答案 错误的认为 但侥幸碰对了答案 已知 求 已知 求 xgxfxgxf 0 试建立试建立y与与v满足的微分 方程 满足的微分 方程 并求解出函数关系式并求解出函数关系式 98 数一数一 6分分 解解解解 取开始下沉点为原点取开始下沉点为原点取开始下沉点为原点取开始下沉点为原点O O 竖直向下为正方向竖直向下为正方向竖直向下为正方向竖直向下为正方向 得方程得方程得方程得方程 2 2 kvBmg dt yd m 2 2 d ydv vtvy dtdy 将代入消去 得 与 之间的微分方程 将代入消去 得 与 之间的微分方程 dv mvmgBkv dy mv dydv mgBkv 分离变量积分得 分离变量积分得 2 ln mm mgB yvmgBkvC kk 0 0 y v 得得由初始条件由初始条件 2 ln mgB CmgB k 所以所求的函数式为所以所求的函数式为 2 ln mm mgBmgBkv yv kkmgB 9 设函数二阶可导设函数二阶可导 过曲线上任意一点过曲线上任意一点 作该曲线的切线及作该曲线的切线及x 轴的垂线轴的垂线 上述两直线与上述两直线与x轴所围成的三角形的 面积为 轴所围成的三角形的 面积为 区间区间 0 x 上以上以y y x 为曲边的曲边梯 形面积为 为曲边的曲边梯 形面积为S2 设设2S1 S2恒为恒为1 求曲线的方程求曲线的方程 0 xxy 100 yxy yxP 1 S 99 数数1 6分分 x y O P x y Q yy xP x y 解 曲线上点处的切线为 解 曲线上点处的切线为 YyyxXx 0 y xx y 它与 轴的交点为 它与 轴的交点为 0 0 1 0 yxyy x 所以所以由于由于 2 1 1 2 2 yy Sy xx yy 于是 于是 12 21 SS 知知由条件由条件 2 2 00 1 xx y Sy t dty t dt y 2 xyyy 两边对 求导化简得两边对 求导化简得 2 dp pyypp dy 令方程化为 令方程化为 2 1 1 C x C dy pC yye dx 解得 解得 12 0 1 0 1 1 0 yyCC 得得由可由可 x ye 所求曲线为 所求曲线为 方程的通解求方程方程的通解求方程03 yxy 2000年数1填空 3 分 2000年数1填空 3 分 1010 2 1 2 C yC x 解 解 某湖泊的水量为某湖泊的水量为V 每年排入湖泊内含污染物 每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为流入湖泊内的不含的污水量为流入湖泊内的不含A的水量为 流出湖泊的水量为已知 的水量为 流出湖泊的水量为已知1999年底湖中年底湖中A的含 量为 的含 量为5m0 超过国家规定标准 为了治理污染 从 超过国家规定标准 为了治理污染 从2000年开始 限定排入湖泊中含年开始 限定排入湖泊中含A的污水浓 度不超过问至多需经过多少年 湖泊中污 染物 的污水浓 度不超过问至多需经过多少年 湖泊中污 染物A的含量降至的含量降至m0以内以内 2000 数数2 7分分 某湖泊的水量为某湖泊的水量为V 每年排入湖泊内含污染物 每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为流入湖泊内的不含的污水量为流入湖泊内的不含A的水量为 流出湖泊的水量为已知 的水量为 流出湖泊的水量为已知1999年底湖中年底湖中A的含 量为 的含 量为5m0 超过国家规定标准 为了治理污染 从 超过国家规定标准 为了治理污染 从2000年开始 限定排入湖泊中含年开始 限定排入湖泊中含A的污水浓 度不超过问至多需经过多少年 湖泊中污 染物 的污水浓 度不超过问至多需经过多少年 湖泊中污 染物A的含量降至的含量降至m0以内以内 2000 数数2 7分分 6 V 6 V 3 V 0 m V 1111 2000 0 tt 解 从年初开始 第 年湖泊中污染解 从年初开始 第 年湖泊中污染 m Am V 物 的总量为浓度为则在时间间隔物 的总量为浓度为则在时间间隔 0 6 mV t tdtAdt V 内 排入湖泊中的 的量为 内 排入湖泊中的 的量为 33 m Vm Adtdt V 流出湖泊水中 的含量为 流出湖泊水中 的含量为 A所以此时间间隔内湖泊中污染物 的改变量所以此时间间隔内湖泊中污染物 的改变量 0 63 mm dmdt 03 2 t m mCe 分离变量得 分离变量得 00 0 9 5 2 t mmCm 代入初始条件得 代入初始条件得 03 19 2 t m me 所以 所以 0 6ln3mmt 令得 令得 12 有一盛满水的圆锥形漏斗有一盛满水的圆锥形漏斗 高为高为10cm 顶角顶角 漏斗下面有面积为漏斗下面有面积为0 5cm2的孔的孔 求水面高度 的变化规律及水流完所花时间 求水面高度 的变化规律及水流完所花时间 3 h dh r 解解 由水力学知道由水力学知道 ghS dt dV Q2620 t tdth 在时间段内 水面高度由 降为 在时间段内 水面高度由 降为 2 0 hdh dhdVr dh 则 a 且鸭子且鸭子 游动方向始终朝向点游动方向始终朝向点O 求鸭子游过的轨迹 求鸭子游过的轨迹 解解 设水流速度为设水流速度为a a a 鸭子的游速为鸭子的游速为b b b 则鸭子的实际运动速度为则鸭子的实际运动速度为 v a b 取取O为坐标原为坐标原 点点 河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为x轴轴 y轴指向对岸轴指向对岸 设在时设在时 刻刻t鸭子为于点鸭子为于点P x y 鸭子的运动速度为鸭子的运动速度为 xy dx dy vvv dtdt 0 0 x y vdx aabbPO dyv 所以 现在 所以 现在 0 POPO 其中为与同方向的单位向量 其中为与同方向的单位向量 yxPO 0 22 1 POx y xy 由 由 22 b bx y xy 于是 于是 2222 bxby vaba xyxy 从而 从而 y x by yxa v v dy dx y x 22 2 1 dxaxx dybyy 即 即 由此的方程由此的方程 ydydu uyxuux xdxdx 令 即 有 令 即 有 代入方程有代入方程有 2 1 dua yu dyb 分离变量得 分离变量得 积分得积分得 dy by a u du 1 2 2 ln 1 lnln a uuyC b 11 1 2 aa bb uCyCy C 0 xhy h C 1 以代入得 以代入得 所以所以 11 0 2 aa bb h xCyCyyh 狼追兔子问题狼追兔子问题 当一只兔子在它的洞穴北面当一只兔子在它的洞穴北面60m处觅食 处觅食 一只饿狼出现在兔子正西方一只饿狼出现在兔子正西方100m处 兔子立处 兔子立 即奔向自己的洞穴 狼立即以兔子的两倍速即奔向自己的洞穴 狼立即以兔子的两倍速 度紧追兔子不放 狼追逐的方向始终指向兔度紧追兔子不放 狼追逐的方向始终指向兔 子 试问兔子回到洞穴前 狼能否追上兔子 试问兔子回到洞穴前 狼能否追上兔 子 子 狼追兔子问题示意图狼追兔子问题示意图 x y 100 60 100 Bvt A x y O tA x y解 设在时刻 狼的位置为兔子的位置解 设在时刻 狼的位置为兔子的位置 100 Bvtv为 狼的速度为向量 则 为 狼的速度为向量 则 22 2 100 100 xy vxvty vvv xvty 22 2 100 100 dxvx dt xvty 即 即 22 2 100 dyv vty dt xvty 所以 所以 100 100 dyvty x yvty dxx 22 2 dxdy v dtdt 因为 因为 2 1 2 dydt v dxdx 有 有 22 11 1 1 22 dtdy y dxvdxv 即 即 2 1 100 1 2 xx yy 两端对 求导得 两端对 求导得 0 0 0 0yy 初始条件为 初始条件为 2 11 2 100 1 pydpdx x p 令所以有 令所以有 2 10 1 100 pp x 可解得一特解 可解得一特解 20014002 100 32033 x yx 200 10060 3 xy 当时 当时 此时兔子已经安全到家了 此时兔子已经安全到家了 1 sec 0 2 yyxx 例 解方程 例 解方程 0 yy 解 对应的齐次方程 的通解为 解 对应的齐次方程 的通解为 12 cossin YCxCx 12 cos sin yCxxCxx 设特解形式为 设特解形式为 12 12 cos sin 0 sin cos sec xCxC xCxCx 代入方程得 代入方程得 12 lncos Cxx Cxx 解得 解得 coslncossin yxxxx 所以 通解为 所以 通解为 12 cossincoslncossinyCxCxxxxx 2 2 2cosyyx 例2 解方程 例2 解方程 2 0yy 解 对应的齐次方程 的通解为解 对应的齐次方程 的通解为 2 12 x YCC e 2 12 x yCxCx e 设特解形式为 设特解形式为 2 12 22 2 0 cos x x CCe Cex 代入方程得 代入方程得 3 2 1 x x e yyy e 例 求解方程 例 求解方程 解 原方程对应的齐次方程解 原方程对应的齐次方程 2 12 20 xx yyyYC eC e 的通解为 的通解为 2 12 xx YCx eCx e 设特解为 设特解为 2 12 2 12 0 2 1 xx x xx x CeCe e CeCe e 得方程组 得方程组 1 1 sin