贵州省贵阳市高考数学复习 对数与对数函数学案2.doc

对数与对数函数一、目标认知学习目标1. 掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2. 掌握对数函数的概念、图象和性质.重点对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用；理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.难点正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.二、知识要点梳理知识点一、对数及其运算我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算对数运算.(一)对数概念:1. 如果，那么数b叫做以a为底n的对数，记作:logan=b.其中a叫做对数的底 数，n叫做真数.2. 对数恒等式：3. 对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数， .(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，n三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知(1)； 推广：(2)；(3).(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0， a1， m0的前提下有:(1) 令 logam=b， 则有ab=m， (ab)n=mn，即， 即，即:.(2) ，令logam=b， 则有ab=m， 则有 即， 即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.知识点二、对数函数1. 函数y=logax(a0，a1)叫做对数函数.2. 在同一坐标系内，当a1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0a1时，对数函数的图 象随a的增大而远离x轴.(见图1)(1)对数函数y=logax(a0，a1)的定义域为(0，+)，值域为r(2)对数函数y=logax(a0，a1)的图像过点(1，0)(3)当a1时，三、规律方法指导容易产生的错误(1)对数式logan=b中各字母的取值范围(a0 且a1， n0， br)容易记错.(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga(mn)=logamlogan，loga(mn)=logamlogan，loga.(3)解决对数函数y=logax (a0且a1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.(4)关于对数式logan的符号问题，既受a的制约又受n的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a， n同侧时，logan0；当a，n异侧时，logan0.经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2求值： 解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，cr+，且不等于1，n0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3.已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1) (2)lg2lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2 解：(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明： .【变式4】已知：a2+b2=7ab，a0，b0. 求证：.证明： a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用4.(1)已知logxy=a， 用a表示； (2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底. 方法一：am=x， bn=x， cp=x ， ； 方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)；(2)；(3)法一： 法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5.求值(1) log89log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 举一反三：【变式1】求值：解：另解：设 =m (m0). ， ， ， lg2=lgm， 2=m，即.【变式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?解： ，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)； (2).思路点拨：由对数函数的定义知：x20，4-x0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x20，即x0，所以函数；(2)因为4-x0，即x4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y= (2) y=ln(ax-k2x)(a0且a1，kr).解：(1)因为， 所以， 所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为 ax-k2x0， 所以()xk. 1当k0时，定义域为r； 2当k0时， (i)若a2，则函数定义域为(k，+)； (ii)若0a2，且a1，则函数定义域为(-，k)； (iii)若a=2，则当0k1时，函数定义域为r；当k1时，此时不能构成函数， 否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为-1，1，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1x1，可得y=f(x)的定义域为，2，再由log2x2得y=f(log2x)的定义域为，4.类型七、函数图象问题7作出下列函数的图象：(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3). 类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a0且a1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4log28.5； 解法2：由函数y=log2x在r+上是单调增函数，且3.48.5，所以log23.4log28.5； 解法3：直接用计算器计算得：log23.41.8，log28.53.1，所以log23.4log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在r+上是单调减函数，且1.82.7，所以log0.31.8log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a1时，y=logax在(0，+)上是增函数，且5.15.9，所以，loga5.1loga5.9当0a1时，y=logax在(0，+)上是减函数，且5.15.9，所以，loga5.1loga5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则当a1时，y=ax在r上是增函数，且5.15.9所以，b1b2，即当0a1时，y=ax在r上是减函数，且5.15.9所以，b1b2，即.举一反三：【变式1】若logm3.5logn3.5(m，n0， 且m1， n1)，试比较m ，n的大小.解：(1)当m1， n1时，3.51，由对数函数性质：当底数和真数都大于1时，对同一真数， 底数大的对数值小，nm1.(2)当m1，0n1时，logm3.50， logn3.50， 0n1m也是符合题意的解.(3)当0m1，0n1时，3.51，由对数函数性质，此时底数大的对数值小， 故0mn1. 综上所述，m，n的大小关系有三种：1mn或0n1m或0mn1.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1x2 则 又y=log2x在上是增函数 即f(x1)f(x2) 函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(logax)=(a0且a1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(xr+， tr).当a1时，t=logax为增函数，若t1t2，则0x1x2， f(t1)-f(t2)=， 0x1x2， a1， f(t1)f(t2)， f(t)在r上为增函数，当0a1时，同理可得f(t)在r上为增函数. 不论a1或0a1， f(x)在r上总是增函数.10求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4. y=t为减函数，且0t4， y=-2，即函数的值域为-2，+.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+30，即-1x3. t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在1，3)上递减，而y=t为减函数. 函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性.(1) (2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. 解：由 所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称 又 所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由 所以函数的定义域为r关于原点对称 又 即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为r，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为r，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为r，即关于x的不等式ax2+2x+10的解集为r，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为r与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是. 解：(1)f(x)的定义域为r，即：关于x的不等式ax2+2x+10的解集为r， 当a=0时，此不等式变为2x+10，其解集不是r； 当a0时，有 a1. a的取值范围为a1.(2)f(x)的值域为r，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0a1， a的取值范围为0a1.13已知函数h(x)=2x(xr)，它的反函数