武汉大学2001-2014高数B2试题编选.pdf

2000 2001 学年第二学期 高等数学 期末考试试题2000 2001 学年第二学期 高等数学 期末考试试题 180 学时 专业班级 专业班级 学号学号 姓名姓名 一 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a 试写出此微分方程及通解 8 分 二 设幂级数 0 1 n n n xa在x 3 处发散 在x 1 处收敛 试求出此幂级数的收敛半径 8 分 三 求曲面3 23 xzyx在点 1 1 1 处的切平面方程和法线方程 10 分 四 设 0 xfx 为连续可微函数 且2 1 f 对0 x的任一闭曲线 L 有 0 4 3 L dyxxfydxx 求 xf 10 分 五 设曲线 L 起点为 A 终点为 B 在极坐标下的方程为 36 2sin r 其中 6 对应起点 A 3 对应终点 B 试计算 L xdyydx 10 分 六 设空间闭区域 由曲面 222 yxaz 与平面0 z围成 其中0 a 为 的 表面外侧 且假定 的体积 V 已知 计算 1 2222 dxdyxyzzdzdxzxydydzyzx 10 分 七 函数 yxzz 由0 z y y x F所确定 F 具有连续的一阶偏导数 求 dz 12 分 八 计算 22 dxdydzyx其中 是由平面 z 2 与曲面 222 2zyx 所围成的闭 区域 12 分 九 已知级数 1n n U的部分和arctgnSn 试写出该级数 并求其和 且判断级数 1n n tgU的敛散性 12 分 十 设 xf连续 证明 A A D dttAtfdxdyyxf 其中 A 为正常数 D 2 2 A y A x 8 分 2001 2002 学年第二学期 高等数学 期末考试试题2001 2002 学年第二学期 高等数学 期末考试试题 180 学时 专业班级 专业班级 学号学号 姓名姓名 一 填空题 每小题 4 分 1 曲线 2 0 222 x zyx 在点 2 3 5 处的切线与 Z 轴正向所成的倾角 为 2 设 yxf是连续函数 改变 2 1 1 0 1 x x dyyxfdx的积分次序 3 L 是从 A 1 6 沿xy 6 至点 B 3 2 的曲线段 则 L yx xdyydxe 4 2 2 1 1 n n 的和等于 5 若 1n n a收敛 nn aaaS 21 则 2 lim 11nnn n SSS 二 试解下列各题 每小题 5 分 1 设kjbjia 2 求以向量a b 为边的平行四边形的对角线的长度 2 设 2sec xyzyu 求 x u y u z u 三 10 分 计算 dxdyyxdydzzyx 其中 是曲线 2 yz 30 z 绕 Z 轴旋转一周而成 且从 Z 轴正向看的下侧 四 10 分 设函数 yxz由方程组 uvz ey ex vu vu u v 为参数 所确定 求 1 1 2 2 y xx z 五 10 分 计算 D dxdyyx2 22 其中区域 D 为3 22 yx 六 11 分 有一母线平行于 Z 轴的三棱柱 它的底是xoy面上以 A 1 0 B 1 0 C 1 0 为顶点的三角形 试求此三棱柱介于平面z 0与旋转面 22 yxz 之间的那部分体积 七 10 分 计算 dsz 2 其中 是柱面4 22 yx介于 0 z 6 的部分 八 12 分 设 AB在极坐标系下的方程为 fr 其中 f是 0 2 上具有连续导 数的正值函数 且 对应点 A 对应点 B 20 试证明 dfxdyydx AB 2 九 7 分 求幂级数 1 2 n n x n n 的收敛区间及和函数 2002 2003 学年第二学期 高等数学 期末考试试题 A 卷2002 2003 学年第二学期 高等数学 期末考试试题 A 卷 180 学时 专业班级 专业班级 学号学号 姓名姓名 一 填空题 每小题 4 分 1 ln 22 zyxu 在点 A 1 0 1 处沿点 A 指向 B 3 2 2 方向的方向导 数为 2 方程 x eyy 的特解形式 3 设 222 yxyxD f为为连续函数 则 D dxdyyxf 1 lim 2 0 4 设周期为 2 的函数 xf在 1 1 上的表达式为 xf x 它的傅里叶级数的和函 数为 xs 则 5 s 5 曲面0121744 222 yyzxzyxF 在点 M 2 1 0 处的切平面方 程为 二 计算下列各题 每小题 7 分 求微分方程0 3 2 22 dyyxydxxyx满足1 2 y的特解函数 讨论函数 02 0 2sin yx yx yx yx yxf 在点 0 0 处的连续性 交换 xe dyyxfdx ln 01 的积分次序 设 L 是由 11 1 2 xxy表示的正向曲线 求 L yx ydyxdx 22 2 2 的值 设 S 为 4 222 zyx 求 s dsyx 22 三 10 分 设 sin yyefz x f有二阶连续偏导数 求 2 2 x z yx z 2 四 8 分 求曲面01 2 zxy上离原点最近的点 五 10 分 计算 s dxdyzdxdzydydzx 333 其中 S 是空间立体 2 222 Rzzyx 222 3zyx 的整个表面外侧 六 12分 试确定可微函数 x 已知 1 0 使曲线积分 L dyxdx x y xxI 与路径无关屏求当 L 的起点为 A 1 0 终点为 B 时此积分的值 七 5 分 设 xf在 1 1 上连续 且 1 222 zyx 证明 1 1 2 1 dxxxfdxdydzxf 2002 2003 学年第二学期 高等数学 期末考试试题 B 卷2002 2003 学年第二学期 高等数学 期末考试试题 B 卷 180 学时 专业班级 专业班级 学号学号 姓名姓名 一 填空题填空题 每小题 4 分 1 函数 cos x f x yey 在点 0 0 0 P沿方向 0 13 22 S 的方向导数为 2 设L是 以 0 0 1 0 0 1 OAB为 顶 点 的 三 角 形 的 边 界 则 L xy ds 3 二重极限 22 44 lim x y xy xy 4 曲面 223 10F x y zxxyyz 在点M 4 3 2 处的切平面方程 为 5 设周期为 6 的函数 xf在 3 3 上的表达式为 1 30 0 03 xx f x x 上做切平面 使得切平面与三坐 标平面所围成的体积最大 求切点的坐标 9 分 五 计算0 2222 zazyxzdxdyydxdzxdydz的上侧 10 分 六 设 f x为二阶可导函数 且 0 sin x f xxxt f t dt 试求 f x 10 分 七 设函数 22 22 0 0 0 0 0 xy xyx y f x yxy x y 证明 0 0 0 0 xyyx ff 7 分 2003 2004 学年第二学期 高等数学 期末考试试题 A 卷2003 2004 学年第二学期 高等数学 期末考试试题 A 卷 180 学时 专业班级 专业班级 学号学号 姓名姓名 一 填空题 每小题 4 分 1 曲线tztytx 2 3 上相应于2y 的点处的切线方程是 2 arctan y uz x 在点 A 1 0 1 处沿点 A 指向点 B 3 2 2 方向的方向导数 为 3 设 2222 Vx y zxyz 则 424 3 0 1 lim xyz V edxdydz 4 设周期为 4 的偶函数 xf在 0 2 上的表达式为 f xx 它的傅里叶级数的和 函数为 xs 则 5 s 5 微分方程 4 0yy 的通解是 二 计算下列各题 每小题 7 分 1 求微分方程 2 324 x yyye 的通解 2 设f具有二阶连续偏导数 且 y zxf x x 求 2z x y 3 计算I 2 1 sin 2 x x x dxdy y 42 2 sin 2 x x dxdy y 4 计算I sin cos xx L eymy dxeym dy 其中L为从点 A a a沿曲线 2 2yaxx 到点 0 0 O的曲线弧 0a 5 计算 222 coscoscos S xyzds 其中 S 为锥面 222 xyz 上位于 0zh 的部分 而cos cos cos 为 S 的外法线的方向余弦 三 讨论函数f x y 00 0 22 22 22 yx yx yx xy 在 0 0 处的连续性 可导性 可微性 10 分 四 求旋转椭球面x 2 y2 4 2 z 1 在第一卦限部分上的一点 使该点处的切平面与三标面所围 成的四面体的体积最小 10 分 五 试将I 1 0 dx 2 1 0 x dy 22 22 2 2 xy xy z dz 分别表示为柱面坐标和球面坐标下的三次积分 并 计算其值 10 分 六 试确定可微函数 x 已知 1 1 使曲线积分 2 2 L Iyx dxxxx dy 在右半平面 0 x 与路径无关 8 分 七 设 zf x y 在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数 且 22 22 0 zz xy 2 0 z x y 在 D 内处处成立 证明 Z 的最大值与最小值只能在 D 的边界上达到 7 分 2003 2004 学年第二学期 高等数学 期末考试试题 B 卷2003 2004 学年第二学期 高等数学 期末考试试题 B 卷 180 学时 专业班级 专业班级 学号学号 姓名姓名 一 填空题一 填空题 每小题 4 分 共 5 小题 1 曲 面1zxsinyzsinxysin 在 点 0 2 1 处 的 切 平 面 方 程 为 2 函数 22 2f x yxxyy 在指定点 1 1 沿指定方向 34 55 S 的方向导 数是 3 设 tan y f x yarc x 0 x 则 22 xy fx yfx y 4 设周期为 2 的奇函数 xf在 1 0 上的表达式为 1f xx 它的傅里叶级数 的和函数为 S x 则 4 S 5 设 xf在区间 0 1上连续 且 1 0 f x dxA 则 11 0 x dxf x f y dy 二 解下列各题二 解下列各题 每题 7 分 共 5 题 1 验证函数 2 y zxf x 0 x 满足方程式2 zz xyz xy 其中f为任意的可 微函数 2 求微分方程 x xeyyy 2 23 的通解 3 计算二重积分 222222 sin 4 D xy dxdyDxy 4 计算线积分 L zdxxdyyzdz 其中L是曲线cosxt sinyt zt 上从 点 1 0 0 A到点 1 0 2 B 的一条曲线段 5 讨论函数f x y xy xy x y x y 0 0 00 0 在 0 0的连续性和可微性 三 9 分 设 x 二次可微 对任意闭曲线c有 0 x c yxe dxx dy 且 0 0 0 1 求 x 四 9 分 设 yxf为连续函数 I 0 1 11 0 1 11 2 xx dyyxfdxdyyxfdx 交换所给积分的积分次序 五 10 分 计算 dydzzxdxdyzy 其中 是平面1 zx 曲面xy 及坐 标面0 0 zy所围 成立体的外表面 但除去0 z那个表面 六 10 分 求函数 222 f x y zxyz 在条件 222 222 1 xyz abc abc 下的最大 值与最小值 七 7 分 求三重积分zdxdydz 其中 是由球面 222 4xyz 与拋物面 22 3xyz 所围成的区域 2004 2005 学年第二学期 高等数学 期末考试试题2004 2005 学年第二学期 高等数学 期末考试试题 180 学时 专业班级 专业班级 学号学号 姓名姓名 一 一 填空题 本大题满分 24 分 每小题 4 分 1 设 f x于 R R 上连续 u v F u vvuf t dt 则 2 0 0 F u v u v 0 2 已知 222 Lxyr 逆时针方向 22 L bydxaxdy I xy ab 为常数 则积分I非 零的充要条件是 ab 3 设 22222 12 4 1 1 xyzxy 1 2 是 的边界 则第 一型曲面积分 222 Izxyxy zds 0 22 z xy dv 0 4 设 2 0 111 x x Idxdy 则交换积分顺序后I 2 1 02 y y y dydx 其积分值为 2 4 5 设 cos 1 sin f xxxx 则其以2 为周期的傅里叶级数在x 处 收敛到1 其傅里叶系数 0 a 0 1 a 1 2 b 0 5 6 设 22 123 xxxx yxeyxeyxee 是某个二阶线性非齐次微分方程的三个 解 则此微分方程为22 x yyye 且其通解是y 2 12 xx c ec ex 二 计算下列各题 本大题满分 40 分 每题 10 分 1 设 uf x z 而 z x y是由方程 zxyz 所确的函数 f z及 均可微 10yz 求du 2 计算 22 22 sinsin 1 D xyxy dxdy xy 其中 22 1Dxy 3 计算 xyz dv 其中 表示球体 2222 xyzR 及 2222 xyzRR 的 公共部分 4 设空间流动的流体 其密度 1x y z 已知流速函数 222 Vxz iyx jzy k 求 流体在单位时间内经曲面 222 2xyzz 由内侧流向外侧的流量 三 解答下列各题 本大题满分 36 分 每题 12 分 1 求曲面 0 0 0 0 xyzkxyzk 上点 a b c处的切平面方程及其 与三个坐标平面所围成四面体体积之最小值 2 对函数 22 0 0 0 0 0 xy x y f x yxy x y 讨论下列问题 1 f x y在原点是否可微 给出理由 2 f x y在 0 0 处沿 1 1 l 之方向导数是否存在 其理由是何 3 已知 具二阶连续导数 且 1 1 1 2 x 试确定使 22 2 420 xx yydxxxxyydy 为全微分方程 并求出此方程的通解 武汉大学武汉大学 20072007 20082008 学年第二学期 高等数学学年第二学期 高等数学 B B2 2 180180 学时学时 考试试题 考试试题 A A 卷 卷 一 36 分 试解下列各题 1 求通过直线 20 4236 xy xyz 且平行于直线 124 xyz 的平面方程 2 在两边向量为 0 4 3 4 5 0 ABAC的ABC 中 求AB边上的高h 3 求曲面 222 6xyz 在点 1 2 1 处的切平面和法线方程 4 设 2 ln xy zeyx 求二阶偏导数 2z x y 5 计算二重积分d d D xy x y 其中 222 0 0 Dx yxyaxy 6 交换积分次序 01 11 2 x x dxf x y dy 二 10 分 求函数 1 0 0 zxyxy xy 的极值 三 12 分 设函数 g x具有连续导数 曲线积分 d d x L eg x y xg xy与路径无关 1 求满足条件 1 0 2 g的函数 g x 2 计算 1 1 0 0 d d x eg x y xg xy的值 四 12 分 证明级数 1357 24816 收敛 并求其和 五 15 分 1 求函数 2 22 22 22 0 0 0 x y xy xy f x y xy 的二阶偏导数 0 0 xy f 2 问微分方程20yyy 的哪一条积分曲线 yy x 通过点 0 3 在这点处有倾 角为arctan6的切线 且 0 x y 0 0 xy f 六 15 分 试求向量 22 z e Fizjk xy 穿过由 22 1 2zxyzz 所围成区域的外侧面 不 包含上 下底 的流量 武汉大学武汉大学 2002007 7 20082008 学年第二学期 高等数学学年第二学期 高等数学 A A 5 5 学学分 考试试题分 考试试题 B B 卷 卷 一 12 分 展开 1 x de dxx 为x的幂级数 并求其收敛区间 利用上述展开式求级数 1 1 n n n 的和 二 试解下列各题 1 10 分 下列四个点 1 0 1 4 4 6 2 2 3 10 10 15 ABCD 是否共面 并说明理由 2 6 分 求过直线 3270 250 xy l xz 且平行于直线 2 z L xy 的平面方程 3 交换积分 21 0 y y dyf x y dx 的次序 4 已知 xazf ybz 试证1 zz ab xy 三 12 分 设有函数 22 0 0 0 0 0 xy x y xyf x y x y 讨论 1 函数 f x y在点 0 0 处的可微性 2 函数 f x y在点 0 0 处偏导数存在性 3 函数 f x y沿任一方向的方向导数存在性 四 10 分 试求由球面 222 2xyz 及锥面 22 zxy 所围成物之质量 已知其密度与到球心的 距离的平方成正比 且在球面处等于1 五 10 分 已知 zz x y 满足 2 2 2 z y 且 2 0 4z xxx 0 4 x z y 1 求函数 zz x y 的解析式 2 求函数 zz x y 的极值 六 24 分 求曲面积分 323232 Ixaz dydzyax dzdxzay dxdy其中 为曲面 2222 xyza 0 z 的上侧 七 10 分 试函数 f xy具有中间变量uxy 的一阶连续导数 求证沿分段光滑的任意闭曲线积分 0 L f xy ydxxdy 八 6 分 设 f x y为连续 且 f x yf y x 求证 0000 d dd d axax xf ax ayyxf x yy 其中a为常数 武汉大学武汉大学 2002008 8 20092009 学年第二学期 高等数学学年第二学期 高等数学 B B2 2 试试题题 A A 卷 卷 一 3030 分分 试解下列各题 1 6 6 分分 求解微分方程0 x dxdy ye 满足 0 2 x y 的特解 2 6 6 分分 求曲面 222 2312xyz 在点 1 2 1 处的切平面方程 3 6 6 分分 已知级数 1 1 n n n a x 在1x 处收敛 试讨论此级数在2x 处的敛散性 4 6 6 分分 计算 2d d D xx y 其中D由 22 2 yx yx 所围成的区域 5 6 6 分分 判别级数 4 1 1 2 n n n n 的敛散性 若收敛 是条件收敛还是绝对收敛 二 1010 分分 函数 zz x y 由方程sin xazybz 所确定 a b是不全为零的常数 证明 1 zz ab xy 三 1212 分分 设 2 zx f u 而 y u x 其中 uf二阶可导 求 2z x y 四 1010 分分 试将函数 tanf xxarcx 展成x的幂级数 五 1010 分分 设 32 f x y zxxyz 1 求 f x y z在点 0 1 1 0 P处的梯度及方向导数的最大值 2 问 f x y z在哪些点的梯度垂直于x轴 六 1010 分分 计算 曲面 积分 223 2d d1 d d9d dIxzy zy zz xzx y 其 中 为 曲面 22 1zxy 12z 取下侧 七 1010 分分 设函数 x 具有连续的二阶导数 并使曲线积分 2 3 2 x L xxxeydxx dy 与 路径无关 求函数 x 八 8 8 分分 将正数a分为正数 x y z之和 使得 mnp ux y z 最大 其中 m n p为已知正数 武汉大学武汉大学 2002008 8 20092009 学年第二学期 高等数学学年第二学期 高等数学 B B2 2 考试试考试试题题 B B 卷 卷 一 18 分 1 将 2 arctanln 1f xxxx 展开为x的幂级数 2 指出该幂级数的收敛域 3 求级数 1 1 21 n nnn 的和 二 18 分 设微分方程 0yP x yQ x y 1 证明 若1 0P xQ x 则方程有一特解 x ye 若 0P xxQ x 则方程有一特解 yx 2 根据上面的结论 求 1 0 xyxyy 的通解和满足初始条件 0 2 0 1y y 的特解 3 求 1 1xyxyy 满足初始条件 0 ln 1 lim1 x y x x 的特解 三 12 分 计算 22 22 1 1D xy dxdy xy 其中D是由圆周 22 1xy 及坐标轴所围成的在第一象限内的 闭区域 四 10 分 设 zf xyxy 其中函数f具有二阶连续的偏导数 求 2z x y 五 10 分 求幂级数 1 n n n x n n 的收敛域 端点情形要讨论 六 12 分 利用 Gauss 高斯 公式计算曲面积分 222 xyz dydzyzx dzdxzxy dxdy 七 12 分 设 1 试确定函数 u 使得曲线积分 sin L y xxdxx dy x 在0 x 或在0 x 的域内与路径无关 并求由点 10A 到 B 的上述积分 八 8 分 判别级数 2222 1 1 2 3 2 n n n 的敛散性 武汉大学 2012 2013 学年第二学期期末考试 高等数学 B2 A 卷答题卡 四 9 分 计算二重积分 22 max d d xy D ex y 其中 01 01 Dx yxy 考 生 学 号 姓名 班级 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 五 9 分 求三重积分I zdv 其中 是由平面2xyz 与三个坐标平面围成的区域 注意事项 1 答题前 考生先将自己的姓名 学号填写清楚 并填涂相应的 考号信息点 2 解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写 不得用铅笔或圆珠笔 作解答题 字体工整 笔迹清楚 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答 超出答题区域书 写的答题无效 在草稿纸 试题卷上答题无效 4 保持卷面清洁 不要折叠 不要弄破 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 一 9 分 已知三个向量 a b c 其中 ac bc 又a 与b 的夹角为 3 且 2 1 3 abc 求 abc 六 9 分 已知 2 d 1 d C x yyxyxx 在全平面上与路径无关 其中 x 具有连续的一阶导数 并当C是起点在 0 0 终点为 1 1的有向曲线时 该曲线积分值为1 2 试求函数 x 二 9 分 求A B 使平面 AxByz 670与直线l xyz 4 2 5 4 1 3 垂直 三 9 分 设 yxzz 是由方程 22 2 xyzxyz 所确定的函数 其中 具有二阶导数 且1 求 1 d z 2 记 1 zz u x y xyxy 求 u x 七 9 分 计算曲面积分 dxyzS S 其中S为锥面 22 zxy 在柱体 22 2xyx 内的部分 1 八 7 分 试求幂级数 1 1 1 1 4 n n n n x n 的收敛域及和函数 S x 十一 8 分 试在曲面S 222 21xyz 上求一点 使得函数 222 zyxzyxf 沿着点 A 1 1 1 到点 B 2 0 1 的方向导数具有最大值 九 9 分 求曲面 222 2321xyz 上平行于平面460 xyz 的切平面方程 十 7 分 设函数 zzyxu3 2 1 2 1 344 求向量场ugradA 穿过曲面S流向外侧的通量 其中S是曲面 22 1zxy 0 z的上侧 十二 6 分 设正项数列 n a单调减少 且 1 1 n n n a 发散 试问级数 1 1 1 n n n a 是否收敛 并说 明理由 2 武汉大学 2013 2014 学年第二学期期末考试 高等数学 B2 A 卷答题卡 四 8 分 设函数 zz x y 是由方程arctan xyzxyz 所确定的隐函数 求全微分dz在点 0 1 1 处的 值 考 生 学 号