高中数学 第3章 不等式 3.3.3 简单的线性规划问题课件 苏教版必修5.ppt

3 3 3简单的线性规划问题 目标导航 预习引导 目标导航 预习引导 1 对于变量x y的约束条件 都是关于x y的一次不等式 称其为线性约束条件 z f x y 是欲达到最值所涉及的变量x y的解析式 叫做目标函数 当f x y 是关于x y的一次函数解析式时 z f x y 叫做线性目标函数 预习交流1将目标函数z 3x y看成直线方程时 下列关于z的意义 正确命题的序号是 该直线的截距 该直线在y轴上的截距 该直线在y轴上的截距的相反数 该直线在x轴上的截距答案 提示 把目标函数整理可得y 3x z z为直线在y轴上的截距的相反数 故只有 正确 目标导航 预习引导 2 约束条件所表示的平面区域称为可行域 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 通常称为线性规划问题 满足线性约束条件的解叫做可行解 使目标函数取得最大值和最小值的解 叫做这个问题的最优解 只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决 线性规划是一种重要的优化模型 生产实际中有许多问题都可归结为线性规划问题 预习交流2在线性约束条件下 最优解唯一吗 提示 不一定 可能有一个 也可能有多个 当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时 最优解可能有无数个 目标导航 预习引导 3 现有5辆载重6吨的汽车 4辆载重4吨的汽车 设有x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车 要运送最多的货物 完成这项运输任务的线性目标函数为 提示 1 1 0 2 3 3 z 6x 4y 一 二 三 思路分析 在可行域中作出直线l 2x 3y 0 把l向上 下 平移 对应的z值是变大还是变小 目标函数z 2x 3y过哪一点时取最大值 最小值 一 二 三 解 作出可行域如图 令z 0 作直线l 2x 3y 0 当把直线l向下平移时 所对应的z 2x 3y的函数值随之减小 所以 直线经过可行域的顶点b时 z 2x 3y取得最小值 一 二 三 一 二 三 答案 1解析 作出不等式组对应的平面区域 如图 容易得知 当对应的直线恰好经过这个平面区域的点 2 1 时 z x y取得最小值 最小值是1 一 二 三 答案 2 6 解析 画出可行域如图中阴影部分所示 可以求出可行域的三个交点a 2 0 b 2 2 c 0 2 代入目标函数z x 2y可知 在点a处z取最小值 在点b处z取最大值 所以 zmax 6 zmin 2 一 二 三 答案 6解析 可行域为如图所示的阴影部分 当可行解为a 2 3 时 smax 6 一 二 三 名师点津在求目标函数z ax by c的最值时 根据y的系数b的正负 可分以下两种情形求最值 1 求目标函数z ax by c b 0的最值 在线性约束条件下 求目标函数z ax by c的最小值或最大值的求解程序如下 作出可行域 作出直线l0 ax by 0 确定l0的平移方向 若把l0向上平移 所对应的z值随之增大 若把l0向下平移 所对应的z值随之减小 依可行域判断取得最优解的点 解相关方程组 求出最优解 从而得出目标函数的最大值或最小值 2 若b0时的最值相反 一 二 三 一 二 三 解 画出满足条件的可行域如图所示 1 x2 y2 u表示一组同心圆 圆心为原点o 且对同一圆上的点x2 y2的值都相等 由图可知 当 x y 在可行域内取值时 当且仅当圆o过c点时 u最大 过 0 0 时 u最小 又c 3 8 所以umax 73 umin 0 一 二 三 答案 5解析 画出不等式组所表示的平面区域 如图所示 一 二 三 一 二 三 一 二 三 三 线性规划的实际应用问题活动与探究例3某工厂有甲 乙两种产品 计划每天各产品生产量不少于15t 已知生产甲产品1t需煤9t 电力4kw h 劳力3个 生产乙产品1t需煤5t 电力5kw h 劳力10个 甲产品每1t利润7万元 乙产品每1t利润12万元 但每天用煤不超过300t 电力不超过200kw h 劳力只有300个 问每天各生产甲 乙两种产品多少时 能使利润总额达到最大 一 二 三 思路分析 将已知数据列成表 如下表所示 设出未知量 根据资源限额建立约束条件 由利润关系建立目标函数 一 二 三 一 二 三 一 二 三 迁移与应用铁矿石a和b的含铁率a 冶炼每万吨铁矿石的co2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表 某冶炼厂至少要生产1 9万吨铁 若要求co2的排放量不超过2万吨 则购买铁矿石的最少费用为百万元 答案 15 一 二 三 一 二 三 名师点津1 线性规划应用题的难点是从实际问题中抽象出不等式组 解决此难点的关键是认真审题 分析题目条件 当条件较多时 需注意借助表格或图形梳理题中的条件 在认真审题的基础上 将约束条件全部列举出来 最后要检查能否取等号 未知量是否为正整数或其他范围的限制 一 二 三 2 解线性规划问题的关键步骤是在图形上完成的 所以作图要尽可能精确 图上操作尽可能规范 但考虑到作图必然会有误差 假如图上的最优点并不明显易辨时 不妨可将几个有可能是最优点的坐标都求出来 然后逐一检查 以确定最优解 确定最优解时 应弄清直线的倾斜程度 找出取得最大值或最小值的点 画出图形 找出最优解 这样既直观又清楚 确定实际问题的最优解 要注意结合所建立的目标函数的特点而选定可行域中的特殊点作为最优解 如果可行域为一个多边形 那么一般在其顶点处使目标函数取得最值 最优解即为多边形的某个顶点 2 3 4 5 1 6 答案 c解析 画出满足约束条件的可行域 如图 阴影部分 z x y y x z 由图知截距 z的取值范围为 2 1 z的取值范围为 1 2 2 3 4 5 1 6 答案 c解析 2 3 4 5 1 6 3 某实验室需购某种化工原料106千克 现在市场上该原料有两种包装 一种是每袋35千克 价格为140元 另一种是每袋24千克 价格为120元 在满足需要的条件下 最少要花费元 答案 500解析 设第一种为x袋 第二种为y袋 总的花费为z元 由题意知35x 24y 106 x y均为整数 z 140 x 120y 其中x 0 1 2 3 4 相应y值和花费