高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.4.2 两平面垂直课件 苏教版必修2.ppt

1 二面角的有关概念 1 半平面平面内的一条直线把这个平面分成两部分 其中的每一部分都叫做半平面 当其中一个半平面绕着这条直线旋转时 两个半平面就形成了一定的 角度 2 二面角 定义 一般地 一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 每个半平面叫做二面角的面 如图 棱为ab 面为 的二面角 记作二面角 ab 度量 一般地 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 如图 oa l ob l a b o l l 则 aob就是二面角 l 的平面角 二面角的大小可以用它的平面角来度量 二面角的平面角是多少度 就说这个二面角是多少度 范围 二面角 的大小范围是0 180 平面角是直角的二面角叫做直二面角 交流1一个二面角的平面角惟一吗 若不惟一 这些平面角的大小有什么关系 答案 根据在棱上选的平面角的顶点位置不同 二面角的平面角不同 但根据等角定理 这些平面角的大小都是相等的 2 平面与平面垂直 1 定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角 那么就说这两个平面互相垂直 2 画法 记作 3 平面与平面垂直的判定定理文字语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 交流2与一个平面垂直的平面有多少个 答案 凡经过平面垂线的平面都与已知平面垂直 而经过平面垂线的平面有无数个 故与一个平面垂直的平面有无数个 3 平面与平面垂直的性质定理 交流3 1 两个平面垂直 其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗 2 已知 l a l 那么一定有a 或a 成立吗 答案 1 不一定 只有垂直于两平面的交线的直线才垂直于另一个平面 2 不一定 如图所示 l a l 但a a 则a 与a 都不成立 典例导学 一 二 三 即时检测 一 面面垂直判定定理的应用如图 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce 且ce ca 2bd m是ea的中点 求证 导学号51800041 1 de da 2 平面bdm 平面eca 3 平面dea 平面eca 典例导学 一 二 三 即时检测 思路分析 1 要证de da 取ec的中点f 只需证明rt efd rt dba 2 注意m为ea的中点 可取ca的中点n 先证明点n在平面bdm内 再证明平面mnbd经过平面eca的一条垂线即可 3 仍需证平面dea经过平面eca的一条垂线 证明 1 取ec的中点f 连结df 易知df bc ec bc df ec 在rt efd和rt dba中 ef ec bd fd bc ab rt efd rt dba ed da 典例导学 一 二 三 即时检测 2 取ca的中点n 连结mn bn 则mn ec mn bd 点n在平面bdm内 ec 平面abc ec bn 又ca bn ec ca c bn 平面eca bn在平面mnbd内 平面mnbd 平面eca 即平面bdm 平面eca 3 bd ec mn ec 四边形mnbd为平行四边形 dm bn 由 2 知bn 平面eca dm 平面eca 又dm 平面dea 平面dea 平面eca 典例导学 一 二 三 即时检测 1 如图 四棱锥p abcd的底面abcd是边长为a的正方形 侧棱pa a pb pd a 则它的五个面中 互相垂直的面有对 解析 平面pab 平面pad 平面pab 平面abcd 平面pad 平面abcd 平面pad 平面pcd 平面pbc 平面pab 共5对 答案 5 典例导学 一 二 三 即时检测 2 如图 ab bc cd da e f g分别为cd da和ac的中点 求证 平面bef 平面bgd 证明 ab bc cd ad g是ac的中点 bg ac dg ac 又bg dg g ac 平面bgd 又e f分别为cd da的中点 ef ac ef 平面bgd ef 平面bef 平面bef 平面bgd 典例导学 一 二 三 即时检测 平面与平面垂直的判定方法 1 定义法 证明这两个平面所成的二面角的平面角是直角 应用此法证明面面垂直的关键是正确地作出 或找出 二面角的平面角 2 判定定理法 本质 证面面垂直证线面垂直 关键 在其中一个平面内寻找另一个平面的垂线 典例导学 即时检测 一 二 三 二 面面垂直的性质定理的应用如图所示 p是四边形abcd所在平面外的一点 四边形abcd是边长为a的菱形且 dab 60 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 导学号51800042 1 若g为ad的中点 求证 bg 平面pad 2 求证 ad pb 典例导学 即时检测 一 二 三 思路分析 1 2 要证ad pb 只需证ad 平面pbg即可 典例导学 即时检测 一 二 三 证明 1 如图 在菱形abcd中 连结bd 由已知 dab 60 abd为正三角形 g是ad的中点 bg ad 平面pad 平面abcd 且平面pad 平面abcd ad bg 平面pad 2 连结pg pad是正三角形 g是ad的中点 pg ad 由 1 知bg ad 又 pg bg g ad 平面pbg pb 平面pbg ad pb 典例导学 即时检测 一 二 三 如图 四棱锥p abcd的底面是边长为a的菱形 平面pcd 平面abcd pc a pd a e为pa的中点 求证 平面edb 平面abcd 典例导学 即时检测 一 二 三 证明 连结ac 设ac bd o 连结eo ao co e为pa的中点 eo pc pc cd a pd a pc2 cd2 pd2 pc cd 平面pcd 平面abcd cd为交线 pc 平面abcd eo 平面abcd 又eo 平面edb 平面edb 平面abcd 典例导学 即时检测 一 二 三 本题已知面面垂直 可考虑利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直 线线垂直 应用面面垂直的性质定理时 要注意以下三点 1 两个平面垂直是前提条件 2 直线必须在其中一个平面内 3 直线必须垂直于它们的交线 典例导学 即时检测 一 二 三 三 二面角的求法如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 导学号51800043 1 求直线am与平面bcd所成角的大小 2 求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值 典例导学 即时检测 一 二 三 思路分析 利用已知的垂直关系可推出线面垂直 从而将所求的空间角 线面角与二面角转化为平面角 再用平面几何知识求解即可 解 1 取cd的中点o 连结ob om 则ob cd om cd 又平面mcd 平面bcd 则mo 平面bcd 所以mo ab 点a b o m共面 延长am bo相交于点e 则 aeb就是am与平面bcd所成的角 典例导学 即时检测 一 二 三 2 ce是平面acm与平面bcd的交线 由 1 知 o是be的中点 则bced是菱形 作bf ec于点f 连结af 则af ec afb就是二面角a ec b的平面角 设为 因为 bce 120 所以 bcf 60 典例导学 即时检测 一 二 三 1 如图所示 平面 内有一以ab为直径的圆 pa 平面 点c在圆周上移动 不与a b重合 点d e分别是点a在pc pb上的射影 下列结论 aed是二面角a pb c的平面角 acd是二面角p bc a的平面角 eda是二面角a pc b的平面角 bac是二面角b pa c的平面角 pac是二面角p ab c的平面角 其中正确结论的序号是 典例导学 即时检测 一 二 三 解析 ab为圆的直径 bc ac pa 平面 bc pa bc 平面pac bc pc bc ad ad pc ad 平面pbc ad de ad pb ae pb pb 平面ade 成立 成立 不成立 成立 不成立 答案 典例导学 即时检测 一 二 三 2 如图 二面角 l 的大小是60 线段ab b l ab与l所成角为30 则ab与平面 所成角的正弦值是 导学号51800044 典例导学 即时检测 一 二 三 解析 如图所示 设ao o为垂足 连结bo 则 abo即为ab与平面 所成的角 在 内过a作ac l于c点 连结oc 则 aco为二面角 l 的平面角 aco 60 典例导学 即时检测 一 二 三 找二面角的平面角的方法1 垂面法 由二面角的平面角的定义 只需作与棱垂直的平面 则该平面与两半平面所成交线构成的角就是二面角的平面角 2 平移法 先分别在两半平面内找一条垂直于棱的射线 然后平移到一起 找到二面角的平面角 典例导学 1 2 3 4 5 即时检测 1 如图 在立体图形d abc中 若ab cb ad cd e是ac的中点 则下列说法中正确的是 平面abc 平面abd 平面abc 平面bde 且平面adc 平面bde 平面abc 平面adc 且平面adc 平面bdea b c d 都不正确 典例导学 1 2 3 4 5 即时检测 解析 由题意知 ac de ac be ac 平面bde 又ac 平面abc ac 平面adc 平面abc 平面bde 平面adc 平面bde 答案 b 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 2 下列说法中正确的个数是 两平面平行 夹在两平面间的平行线段相等 两平面平行 夹在两平面间的相等的线段平行 如果一条直线和两个平行平面中的一个平行 那么它和另一个平面也平行 两平行直线被两平行平面截得的线段相等a 1b 2c 3d 4解析 和 正确 夹在两平行平面间的平行线段一定相等 但相等的线段不一定平行 故 不正确 若 a 则a 或a 故 不正确 答案 b 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 3 下列命题中错误的是 a 若一条直线垂直于一个平面 则此直线必垂直于这个平面内所有的直线b 若一个平面通过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直c 若一条直线垂直于一个平面的一条垂线 则此直线必平行于这个平面d 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直 则它也和这条斜线垂直解析 a中 由线面垂直的定义可知此命题正确 b中 由面面垂直的判定定理知此命题正确 c中 由于一条直线垂直于一个平面的一条垂线时 此直线可能平行于这个平面 也可能在这个平面内 故此命题是错误的 d中 由线面垂直关系可得出线线垂直 故d正确 答案 c 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 4 在空间 下列命题正确的序号是 平行直线的平行投影重合 平行于同一直线的两个平面平行 垂直于同一平面的两个平面平行 垂直于同一平面的两条直线平行解析 对于 平行直线的平行投影也可能平行 故 不正确 对于 平行于同一直线的两个平面也可能相交 故 不正确 垂直于同一平面的两个平面也可能相交 故 不正确 由线面垂直的性质定理知 正确 答案 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 5 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac 3 ab 5 bc 4 点d是ab的中点 导学号51800045 1 求证 ac bc1 2 求