高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5.15.2 直线间的夹角、平面间的夹角课件 北师大版选修21.ppt

第二章 5夹角的计算 5 1直线间的夹角5 2平面间的夹角 1 理解两条异面直线的夹角 两平面的夹角的概念 2 能够利用向量方法解决线线 面面的夹角问题 3 掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一直线间的夹角当两条直线l1与l2共面时 我们把两条直线交角中 范围在内的角叫作两直线的夹角 当直线l1与l2是异面直线时 在直线l1上任取一点a作ab l2 我们把直线l1和直线ab的夹角叫作 空间直线由一点和一个方向确定 所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定 已知直线l1与l2的方向向量分别为s1 s2 当0 s1 s2 时 直线l1与l2的夹角等于 当 s1 s2 时 直线l1与l2的夹角等于 答案 s1 s2 异面直线l1与l2的夹角 s1 s2 答案 知识点二平面间的夹角如图 平面 1与 2相交于直线l 点r为直线l上任意一点 过点r 在平面 1上作直线l1 l 在平面 2上作直线l2 l 则l1 l2 r 我们把直线l1和l2的夹角叫作平面 1与 2的夹角 已知平面 1和 2的法向量分别为n1和n2 当0 n1 n1 时 平面 1与 2的夹角等于 当 n1 n2 时 平面 1与 2的夹角等于 n1 n2 n1 n2 返回 答案 思考 1 异面直线的夹角范围是什么 2 两平面的夹角范围是什么 题型探究重点突破 题型一两条异面直线所成角的向量求法例1如图 在直三棱柱a1b1c1 abc中 ab ac ab ac 2 a1a 4 点d是bc的中点 求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 解以a为坐标原点 分别以ab ac aa1为x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系axyz 反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系 利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便 要注意角的范围 解析答案 跟踪训练1如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ad aa1 1 ab 2 点e是棱ab上的动点 若异面直线ad1与ec所成角为60 试确定此时动点e的位置 解以da所在直线为x轴 以dc所在直线为y轴 以dd1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 设e 1 t 0 0 t 2 所以t 1 所以点e的位置是ab的中点 解析答案 题型二平面间的夹角的向量求法例2如图 四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等 ac bd o a1c1 b1d1 o1 四边形acc1a1和四边形bdd1b1均为矩形 1 证明 o1o 底面abcd 证明因为四边形acc1a1为矩形 所以cc1 ac 同理dd1 bd 因为cc1 dd1 所以cc1 bd 而ac bd o 且ac 底面abcd bd 底面abcd 因此cc1 底面abcd 由题意知 o1o c1c 故o1o 底面abcd 解析答案 2 若 cba 60 求平面c1ob1与平面bdd1b1的夹角的余弦值 反思与感悟 解析答案 解因为四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等 所以四边形abcd是菱形 因此ac bd 又o1o 底面abcd 从而ob oc oo1两两垂直 如图 以o为坐标原点 ob oc oo1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系oxyz 不妨设ab 2 反思与感悟 易知 n1 0 1 0 是平面bdd1b1的一个法向量 设n2 x y z 是平面ob1c1的一个法向量 反思与感悟 反思与感悟 设n1 n2分别是平面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 就是两个平面夹角的大小 如图 用坐标法的解题步骤如下 1 建系 依据几何条件建立适当的空间直角坐标系 2 求法向量 在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n1 n2 3 计算 求n1与n2所成锐角 cos 4 定值 平面间的夹角就是 解析答案 跟踪训练2如图所示 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求平面aa1d与平面a1bd的夹角的余弦值 解如图所示 取bc中点o 连接ao 因为 abc是正三角形 所以ao bc 因为在正三棱柱abc a1b1c1中 平面abc 平面bcc1b1 所以ao 平面bcc1b1 解析答案 解析答案 又bd ba1 b bd 平面a1bd ba1 平面a1bd 所以ab1 平面a1bd 解析答案 题型三两夹角的综合问题例3如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知ab 4 ad 3 aa1 2 e f分别是线段ab bc上的点 且eb fb 1 1 求平面cde与c1de夹角的正切值 解析答案 d 0 3 0 d1 0 3 2 e 3 0 0 f 4 1 0 c1 4 3 2 设向量n x y z 与平面c1de垂直 则有 取n 1 1 2 则n是平面c1de的一个法向量 设平面cde与c1de的夹角为 由图知所求夹角为锐角 解析答案 反思与感悟 2 求直线ec1与fd1夹角的余弦值 解设ec1与fd1夹角为 则 利用空间向量解题 大致可分采用基底法和坐标法 利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置 建立适当 正确的空间坐标系 难点是在已建好的坐标系中表示出已知点 或向量 的坐标 只有正确表达出已知点 或向量 的坐标 才能通过向量的坐标运算 实现几何问题的代数化解法 反思与感悟 1 求证 de ec 解析答案 设a x 0 0 x 0 解析答案 返回 2 求平面epc与平面dpc夹角的大小 解作dg pc交pc于点g 可设g 0 y z 解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150 则l1与l2这两条异面直线的夹角等于 a 30 b 150 c 30 或150 d 以上均错 a 答案 1 2 3 4 5 解析答案 2 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面的夹角的大小为 a 45 b 135 c 45 或135 d 90 a 二面角的大小为45 1 2 3 4 5 解析答案 a 60 b 90 c 105 d 75 解析建立如图所示的空间直角坐标系 设bb1 1 则a 0 0 1 b 即ab1与c1b所成角的大小为90 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知点a 1 0 0 b 0 2 0 c 0 0 3 则平面abc与平面xoy夹角的余弦值为 1 2 3 4 5 解析答案 5 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知da dc 4 dd1 3 则异面直线a1b与b1c所成角的余弦值为 解析如图 建立空