高考数学一轮总复习 第九章 直线和圆的方程 9.1 直线方程和两条直线的位置关系课件 理 新人教B版.ppt

9 1直线方程和两条直线的位置关系 高考理数 1 直线的倾斜角与斜率 知识清单 任何直线都有倾斜角 当倾斜角为90 时 斜率不存在 2 两条直线的斜率与这两条直线平行 垂直的关系 3 直线方程的几种形式 4 两条直线的交点坐标设两条直线的方程为l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则这两条直线的交点坐标就是方程组的解 1 若方程组有唯一解 则这两条直线相交 此解就是交点坐标 2 若方程组无解 则这两条直线平行 此时这两条直线无交点 反之 亦成立 5 距离 知识拓展 符合特定条件的某些直线构成一个直线系 常见的直线系方程有如下几种 1 过定点m x0 y0 的直线系方程为k y y0 x x0 2 和直线ax by c 0平行的直线系方程为ax by c 0 c c 3 和直线ax by c 0垂直的直线系方程为bx ay c 0 4 经过两相交直线a1x b1y c1 0和a2x b2y c2 0的交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 这个直线系不包括直线a2x b2y c2 0 求倾斜角 的取值范围的一般步骤 1 求出tan 的取值范围 2 利用三角函数的单调性 借助图象 确定倾斜角 的取值范围 例1 2015山东潍坊期末 5 5分 若过点p 2 2 的直线与圆x2 y2 4有公共点 则该直线的倾斜角的取值范围是 a b c d 突破方法 方法1直线的倾斜角与斜率 设直线的点斜式方程根据圆心到直线的距离小于或等于半径列不等式求出k的取值范围结论解析易知直线的斜率存在 设直线方程为y 2 k x 2 即kx y 2k 2 0 因为直线与圆有公共点 所以 2 解得0 k 所以直线的倾斜角的取值范围是 答案b 解题导引 1 判定两直线平行的方法 1 判定两直线的斜率是否存在 若都存在 则化成斜截式 若k1 k2且b1 b2 则两直线平行 若斜率都不存在 还要判定两直线是否重合 2 直接用以下方法 可避免对斜率是否存在进行讨论 设直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则l1 l2 a1b2 a2b1 0且b1c2 b2c1 0 2 判定两直线垂直的方法 1 判定两直线的斜率是否存在 若存在 则化成斜截式 若k1 k2 1 则两直线垂直 若一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率为0 则两直线也垂直 2 直接用以下方法 可避免对斜率是否存在进行讨论 设直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则l1 l2 a1a2 b1b2 0 方法2两条直线的平行与垂直 a 充分必要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件解题导引由垂直得两直线方程中系数关系求a结论解析若l1 l2 则a 3 a 2 1 0 解得a 1或a 2 所以 a 1 是 l1 l2 的充分不必要条件 故选b 答案b2 1已知两直线l1 mx 8y n 0和l2 2x my 1 0 试确定m n的值 使 1 l1与l2相交于点p m 1 2 l1 l2 3 l1 l2 且l1在y轴上的截距为 1 解析 1 由题意得 例2 2015四川德阳二诊 2 已知直线l1 ax 2y 1 0 l2 3 a x y a 0 则 a 1 是 l1 l2 的 2 由m m 8 2 0得m 4 由8 1 n m 0得n 2 即当m 4 n 2或m 4 n 2时 l1 l2 3 当且仅当m 2 8 m 0 即m 0时 l1 l2 又 1 n 8 即m 0 n 8时 l1 l2且l1在y轴上的截距为 1 运用点到直线的距离公式时 需把直线方程化为一般式 运用两平行线间的距离公式时 需先把两平行线方程中x y的系数化为相同的形式 例3若动点a b分别在直线l1 x y 7 0和l2 x y 5 0上移动 则ab的中点m到原点的距离的最小值为 a 3b 2c 3d 4解题导引平行线间距离公式求m点的轨迹方程点到直线的距离公式结论解析依题意知ab的中点m的集合为与直线l1 x y 7 0和l2 x y 5 0距离都相等的直线 则m到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离 设点m所在直线的方程为x y m 0 根据平行线间的距离公式得 解得m 6 即x y 6 0 根据点到直线的距离公式 得m到原点的距离的最小值为 3 方法3距离问题 答案a3 1已知直线l x y 4 0与圆c x 1 2 y 1 2 2 则圆c上各点到l的距离的最小值为 答案解析 如图 过圆心c作直线l x y 4 0的垂线 交圆c于a 垂足为d 则ad的长即为所求 圆c x 1 2 y 1 2 2的圆心为c 1 1 半径为 点c到直线l x y 4 0的距离为d 2 ad cd ac 2 故圆c上各点到l的距离的最小值为 对称包括中心对称和轴对称两种情形 常见对称问题的求解方法 1 中心对称 若点m x1 y1 与n x y 关于p a b 对称 则由中点坐标公式得 若直线关于点对称 则在已知直线上取两点 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 再由两点式求出直线方程 或者求出一个对称点 再利用l1 l2 由点斜式得到所求直线方程 2 轴对称 点关于直线的对称若两点p1 x1 y1 与p2 x2 y2 关于直线l ax by c 0对称 则线段p1p2的中点在对称轴l上 而且连结p1p2的直线垂直于对称轴l 由方程组可得到点p1关于l对称的点p2的 方法4对称问题 坐标 x2 y2 其中a 0 x1 x2 直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决 有两种情况 一是已知直线与对称轴相交 二是已知直线与对称轴平行 例4已知a 3 1 b 1 2 若 acb的平分线的方程为y x 1 则直线ac的方程为 a y 2x 4b y x 3c x 2y 1 0d 3x y 1 0解题导引求点b关于 acb的平分线的对称点b 的坐标求直线ac的斜率k得到直线ac的方程解析设点b 1 2 关于直线y x 1的对称点为b x0 y0 则有 即b 1 0 因为b 1 0 在直线ac上 所以直线ac的斜率为k 所以直线ac的方程为y 1 x 3 即x 2y 1 0 故c正确 答案c4 1在直线l 3x y 1 0上求一点p 使得 1 p到a 4 1 和b 0 4 的距离之差最大 2 p到a 4 1 和c 3 4 的距离之和最小 解析 1 设b关于l的对称点为b ab 的延长线交l于p0 在l上另任取一点p 则 pa pb pa pb ab p0a p0b p0a p0b 则p0即为所求 易求得直线bb 的方程为x 3y 12 0 设b a b 则a 3b 12 0 又线段bb 的中点在l上 故3a b 6 0 由 解得a 3 b 3