2011扬州市高中优秀学业质量监测专题资源-数学：数学函数的概念及其基本性质(扬州中学戚有建).doc

1 函数的概念及基本性质函数的概念及基本性质 扬州中学 戚有建 一 监测目标一 监测目标 理解函数的概念 了解函数的三要素 掌握函数的表示方法 了解分段函数 理解单调性 的定义 会判断函数的单调性 了解奇偶性的定义 会判断函数的奇偶性 会结合具体函 数 了解周期性的定义 掌握单调性和奇偶性的应用 二 监测内容二 监测内容 函数是中学数学的重要内容 也是高考考查的重点内容 而函数的概念是整个函数部分的 基础 所以我们要准确理解函数的概念 函数的性质是函数的核心内容 主要包括三大性质 单调性 奇偶性 周期性 是每年高考的必考内容 其中以函数的性质为载体考查不等式 问题 函数最值问题是高考考查的热点 三 监测工具三 监测工具 诊断性测试题部分诊断性测试题部分 1 f xx已知函数则该函数的定义域为 对应法则为 值域为 解析 定义域为 值域为 对应法则为取绝对值 R 0 感悟 函数的三要素即定义域A 值域C和对应法则f 2 函数的定义域为 2 lg 1 xx f x x 分析 将 求定义域问题 转化为 解不等式 问题 注意所列不等式组的全面性 解析 由题意得 即 即 2 10 0 x xx 11 0 x x 10 x 函数f x 的定义域为 1 0 感悟 求定义域问题通常转化为解不等式问题 注意所列不等式组的全面性 列不等式时主要考虑 分母不为 偶次方根的被开方数为非负数 对数的真数大于 指 数对数的底数大于 且不等于 1 零次幂的底数不为 等 解不等式取交集时 可以用数形结合的思想 借助数轴解决 但要注意端点值或边界值的 取舍 3 43 f xff xxf x 已知是一次函数 且求 分析 求解析式的方法有拼凑法 换元法 待定系数法等 本题因为已经知道了函数类型 所 2 以可以用待定系数法处理 解析 f xaxbff xf axb 设则 2 a axbba xabb 2 224 133 2123 aaa bbabb f xxx 解得或 或 4 2010 年湖北 已知函数 则 3 log 0 2 0 x x x f x x 1 9 f f 分析 由内往外脱掉 f 求值 对于分段函数 可以分段处理 解析 根据分段函数可得 则 3 11 log2 99 f 2 11 2 2 94 f ff 感悟 求分段函数的函数值的关键是 分段归类 即x的值属于哪一段 就用哪一段的解析 式 分段函数是一个函数 不能误认为是几个函数 5 若二次函数的增区间为 则 2 2 f xxax 1 a 若二次函数的区间为上是增函数 则的范围为 2 2 f xxax 1 a 分析 研究单调性的方法有 图象法 定义法 导数法 复合函数法 本题中的函数是 二次函数 它的图象是抛物线 我们很熟悉 所以可以用图象法来处理 解析 2 1 2 2 a f xxaxx 抛物线的对称轴为直线 1 2 12 2 a f xf x a a 的增区间为又的增区间为 即 2 分析 两小题的区别在于 1 1 2 1 22 aa 小题中 小题中 解析 22 aa xf x 抛物线的对称轴为直线的增区间为 1 1 2 12 2 a f x a a 又在上是增函数只要即可 即 3 变式 1 若二次函数的区间为上是增函数 求的范围 2 2 2 xax f x 1 a 分析 本题是复合函数的单调性 如何研究复合函数的单调性 可以用复合函数的单调性 法则来处理 即同增异减 解析 2 2 2 21 txax yRf x 外函数在上是递增 复合函数在上递增 2 21 1 2 12 2 a txax a a 内函数在上递增只要即可 即 变式 2 若二次函数的区间为上是增函数 求的范围 2 lg 2 f xxax 1 a 3 a2 分析 求符合函数的单调区间除了遵循起判断方法 同增异减 外 最重要的一点就是 不能忽视函数的定义域 必须在定义域内研究单调性 否则就没有意义 解析 2 22 2 2 min log0 log 2 1 21 1 20 1 1 22 3 101 0 ytf xxax txax xtxax aa a txt 外函数在上是增函数 复合函数在上是增函数 内函数在上递增 当时 即2 当时 感悟 单调性可从数与形两个方面来刻画 单调性的判别方法有 图象法 定义法 导数法 复合函数法 6 如果的图象关于原点对称 则 1 xxa f x x a1 a 分析 思路 1 用奇偶性的定义一般化处理 思路 2 用奇偶性的定义特殊化处理 解析 方法一 1 1 1 1 1 1 xxa f xf xfxf x x xxaxxaxxaxxa xxxx a 的图象关于原点对称是奇函数 即 即 方法二 4 1 111 1 xxa f xf xfxf x x xff a 的图象关于原点对称是奇函数 取 则 感悟 函数奇偶性的定义不仅是判断奇偶性的工具 也是解决奇偶性有关问题的常规武器 本题 中 既可以用奇偶性的定义一般化解决 也可以特殊化解决 用特殊值法解决填空题有时 会非常简洁 7 动直线与函数的图象的交点个数如何 xa yf x 解析 1 个肯定可以 0 个可以 例如与 2 个及 2 个以上不可以 否5 x 1 1 yx x 则出现 一对多 所以 交点个数为 0 或 1 变式 动直线与函数的图象的交点个数如何 ya yf x 解析 0 个 1 个肯定可以 2 个及 2 个以上也可以 可以出现 多对一 所以 交点个 数任意 感悟 理解函数概念时 注意下面的关键词 任意 唯一 非空数集 8 1012010Rf xf xf xff 已知定义在上的函数满足并且 则 分析 关键是如何发现周期性 思路 1 归纳推理发现周期性 思路 2 类比推理发现周期性 思路 3 演绎推理证明周期性 解析 121 201001 f xf xf xf xf x f x ff 上上2上上上上上上 感悟 抽象函数的周期需要根据所给的式子来求 常见的有以下几种类型 2 1 2 1 2 1 4 1 f xf xTf xTf x f xf xaf xaf x f xf xaaf x f x f xf xaaf x f x f x f xf xaaf x f x 若函数满足 则是的一个周期 若函数满足 则是的一个周期 若函数满足 则是的一个周期 若函数满足 则是的一个周期 若函数满足 则是的一个周期 9 设 若 则的符号如何 3 f xxx0 ab f af b 5 分析 可以先通过取特殊值猜出结果 然后证明结果正确 那么 如何证明 思路 1 分解因式 配方处理 思路 2 借助奇偶性 单调性处理 解法一 分解因式 配方处理 3322 1 f af bababababab 下面配方处理 如何配方 方案 1 2222 13 1 1 24 abababb 方案 2 22 222 22 010 01 10 10 ababab ababababab abab 当时 当时 综上得 解法二 借助函数的奇偶性 单调性来处理 是上的增函数 3 f xxx 2 310 fxx 3 f xxxR 又 是奇函数 3 fxxxf x 3 f xxx 而由 得到0 ab ab 所以 即 f afbf b 0 f af b 感悟 单调性是函数的一个重要性质 它能反映函数的变化趋势 它在很多方面都有应用 例如 1 求函数最值 2 比较大小 3 解不等式 10 已知定义域为 R 的函数满足 f x 22 ff xxxf xxx 1 若 求 若 求 2 3f 1 f 0 fa f a 2 设有且仅有一个实数 满足 求的解析式 0 x 00 f xx f x 分析 对于抽象函数 可以赋值处理 解析 1 22 2 2 22 2 22 1 1xffff 令 则得 22 0 0 00 0 00 xffff aa 令 则得 2 2 0000 xf xxxR f xxxx 有且只有一个实数 使得 对任意 6 2 00000 2 000000 22 0 2 12 22 0 2 0 0 1 1 1 xxf xxxx f xxxxxx xf xxxf xxx xxxxx xf xxxf xxx f xxxxR 令 则 又 故 0或 1 若 0 则 即 但有两个根 0 2 矛盾 所以不合要求 若 1 则即 满足要求 综上 形成性测试题部分形成性测试题部分 1 判断以下各组函数是否表示同一函数 1 f x g x x 2 x x 2 f x g x x 2 x 3 f x g x x 2 x 4 f x g x 2 lg x2lg x 5 f x g x 11xx 2 1x 6 f x x g t t 分析 比较两个函数的三要素 定义域 对应法则 值域 解析 1 f x g x x 2 x x 2 0 x f xxR g xx x x 的定义域为的定义域为 由于定义域不同 所以不是相同函数 2 f x g x x 2 x 2 0 f xxR g xxx x 的定义域为 的定义域为 由于定义域不同 所以不是相同函数 3 f x g x x 2 x 7 2 f xx g xxx 由于对应法则不同 所以不是相同函数 4 f x g x 2 lg x2lg x 2 lg 0 2lg 0 f xxxx x g xx x 由于定义域不同 所以不是相同函数 5 f x g x 11xx 2 1x 2 11 1 1 11 f xxxx g xxx 由于定义域不同 所以不是相同函数 6 f x x g t t 2 2 f xxxR g tttR 由于三要素都相同 所以是相同函数 感悟 在初中 我们研究函数时往往只看函数的解析式 而高中不一样 还要看 函数的定义域 而且要有定义域优先的习惯 判断两个函数是否为相同函数 应抓住两点 定义域是否相同 对应法则是否相同 注意 解析式可以化简 对于两个函数 当它们的三要素都相同时 这两个函数是相同函数 只要 三要素中有一个 要素不相同 这两个 函数就不是相同函数 2 求下列函数的解析式 1 2 1 cossin fxxf x已知求 2 0011 f xff xf xxf x已知是二次函数且满足 求 分析 求解析式的方法有拼凑法 换元法 待定系数法等 1 可用拼凑法或换元法处理 注意新变量的范围 即定义域 2 因为已经知道了函数类型 所以可以用待定系数法处理 解法一 换元法 8 22 2 2 2 1 cossin1 cos 1 cos cos10 2 112 2 0 2 fxxxxtxtt f tttt f xxx x 令则 其中 感悟 注意换元时后的定义域 解法二 拼凑法 22 22 2 1 cossin1 cos1 cos22cos1 cos2 1 cos 1 cos0 2 2 0 2 fxxxxxxx x f xxx x 又 2 0011 f xff xf xxf x已知是二次函数且满足 求 解析 2 0 f xaxbxc a 设 2 2 2 222 000111 111 211 fcf xaxbxf xa xb x a xb xaxbxxaxab xabaxbx即 2 21 111 1222 abb abf xxx ab 解得 感悟 求解析式的方法有拼凑法 换元法 待定系数法等 当知道了函数类型时 可以用待定系数法处理 对于 问题 可用换元法处理 但是要注意函数的定义 f h xg xf x已知求 域 3 判断函数在上的单调性 并证明 2 1 x f x x 1 1 分析 研究单调性的方法有 图象法 定义法 导数法 复合函数法 本题可用定义法 或导数法来处理 证法一 设 则 12 11xx 12 12 22 12 11 axax f xf x xx 22 1212122112 2222 1212 1 1 1 1 1 ax xaxax xaxa xxx x xxxx 12 11xx 22 121212 010 1 1 0 xxx xxx 上上 12 0f xf x 9 函数 f x 在上为减函数 1 1 证法二 导数法 222 22 22 2 1 21 0 11 1 1 1 xxx fx xx x f x x 上上上上上 感悟 单调性可从数与形两个方面来刻画 单调性的判别方法有 图象法 定义法 导数法 复合函数法 函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的 讨论函数的单调性必须在定义域 内进行 用定义法证明函数的单调性的步骤 设值 作差 变形 定号 结论 函数单调性定义 中的 x1 x2有三个特征 一是同属一个单调区间 二是任意性 即 x1 x2是给定区间上的 任意两个值 任意 二字绝不能丢掉 更不可随意以两个特殊值替换 三是有大小 通常 规定 x1 x2 三者缺一不可 4 判断下列函数的奇偶性 1 2 1 1 f xxx 1 1 1 x f xx x 3 4 22 11f xxx 2 1 2 2 x f x x 分析 用奇偶性的定义来判别的步骤如下 求定义域 考虑定义域的对称性 求 f x 考虑 f x f x 或 f x f x 下结论 解析 1 函数的定义域 x 对称于原点 f x x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是偶函数 变式 1 1 f xxx 解析 1 函数的定义域 x 对称于原点 f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函数 10 2 1 1 1 x f xx x 先确定函数的定义域 由 0 得 1 x 1 其定义域不对称于原点 x x 1 1 所以 f x 既不是奇函数也不是偶函数 感悟 判断函数的奇偶性时应先求定义域 定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的必要条件 如果定义域不关于原点对称 则函数就无奇偶性 3 22 11f xxx 先确定函数的定义域 由 得 定义域关于原点对称 2 2 10 10 x x 1x 此时 22 110f xxx f x f x 且 f x f x 既是奇函数 又是偶函数 f x 思考 既奇又偶的函数有多少个 无数个 变式 11f xxx 先确定函数的定义域 由 得 定义域不关于原点对称 10 10 x x 1x f x 既不是奇函数也不是偶函数 4 2 1 2 2 x f x x 思路 去掉绝对值符号 根据定义判断 解析 由得 02 2 01 2 x x 4 0 11 xx x 且 故 f x 的定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 且有x 2 0 从而有f x 这时有 f x f x 故 f x 为奇函数 22 1 2 x x x x21 x x 2 1 x x21 感悟 函数的奇偶性是函数的整体性质 即自变量在整个定义域内任意取值 判断函数的奇偶性应先求定义域 定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的必要条件 如果定义域不关于 原点对称 则函数 就无奇偶性 11 判断函数的奇偶性应先化简函数解析式 5 已知函数 分别由下表给出 f x g x x123 f x131 1 求的值 1 f g 2 若 求的值 f g xg f x x 分析 函数的表示方法有三种 解析式法 图象法 列表法 本题的函数关系是以表 格的形式给出的 解决本题的关键是看懂变量之间的对应关系 解析 1 由表格可知 1 3g 1 3 1f gf 2 当时 不符合要求 1x 1 3 1f gf 1 1 3g fg 当时 符合要求 2x 2 2 3f gf 2 3 1g fg 当时 不符合要求3x 3 1 1f gf 3 1 3g fg 综上得 2x 感悟 函数的表示方法有 解析法 图象法 列表法 解析法的优点是 函数关系清楚 列表法的优点是 便于研究自变量与函数值的对应关系 图象法的优点是 能直观形象地看出函数值的变化趋势 解析法是最常用的表示方法 但是并非所有的函数关系都能用解析法来表示 6 在 ABC 中 BC 2 AB AC 3 设中线 AD 的长为 y AB 的长为 x 请写出 y 关于 x 的函 数关系式 并指出其定义域 11 3 A B C D x y x q 分析 如何建立等量关系式 在三角形中用余弦定理建立三角形的边角之间的等量关系式 如何求定义域 借助三角形中三边之间的关系构造不等式 x123 g x321 12 解析 设 ADC 则 ADB 根据余弦定理得 12 y2 2ycos 3 x 2 12 y2 2ycos x2 由 整理得 y 2 7 3 2 xx 其中 解得 x 2 3 32 0 xx xx x 2 1 2 5 函数的定义域为 2 1 2 5 感悟 建立实际问题的函数关系式时 首先要选定自变量 然后找等量关系求解析式 函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围 同时也要注意变量的实际意义的要 求 7 已知函数 1 0 1 3 01 x f x xx 1 若 求的范围 1f x x 2 若 求的范围 1ff x x 分析 本题考查函数三要素之间的关系 实际上是已知函数值求自变量 难点在于 逆向思维 分段函数 处理思路 1 数的角度 2 形的角度 解析 1 是分段函数 可以分段来处理 f x 当时 满足要求 0 1x 1f x 当时 令 则 01 x 1f x 4x 综上得 或01x 4x 2 由得或 1ff x 0 1f x 4f x 当时 可得或 0 1f x 01x 031 01 x xx 或 解得或01x 34x 13 当时 可得 解得 4f x 34x 7x 综上得 或或01x 34x 7x 感悟 对于分段函数 我们可以 分段处理 各个击破 对应抽象难懂的问题 我们可以用数形结合的思想 借助图象 有时非常直观易懂 8 已知函数 2 0 a f xxxaR x 1 判断函数的奇偶性 xf 2 若在区间是增函数 求实数的取值范围 xf 2a 分析 如何肯定函数具有奇偶性 要证明 如何否定函数具有奇偶性 举反例 而且只要举一个反例 解析 1 当时 为偶函数 0 a 2 xxf 当时 既不是奇函数也不是偶函数 0 a xf 2 方法一 定义法 设 则 2 12 xx 2 2 2 1 2 121 x a x x a xxfxf axxxx xx xx 2121 21 21 由得 2 12 xx 16 2121 xxxx0 0 2121 xxxx 要使在区间是增函数只需 xf 2 0 21 xfxf 即恒成立 则 0 2121 axxxx16 a 方法二 导数法 要使在区间是增函数 只需当时 恒成立 2 2 x a xxf xf 22 x 0 xf 即 则恒成立 02 2 x a x 162 3 xa 故当时 在区间是增函数 16 a xf 2 9 已知定义在上的偶函数在上是减函数 若 求 2 2 xf 0 2 1fmf m 的范围 m 分析 要求范围可以解不等式 如何解不等式 借助单调性 思路 1 分情况讨论 14 不知道在区间内 还是在区间 要分类讨论1 m m 2 0 0 2 思路 2 借助偶函数性质处理 解析 由 g 1 m g m 及 g x 为偶函数 可得 g 1 m g m 又 g x 在 0 上单调递减 1 m m 且 1 m 2 m 2 解得 1 m 2 1 感悟 奇偶性的作用体现在 知道一半 就可以求另外一半 从而就可以知道整体 如果函数具有奇偶 性 我们研究它时 就不需要研究整个定义域 只要研究一半定义域即可 从而减少我们的工作 量 提高我们的效率 10 已知函数满足 xf 1 1 log 2 x x a a xf a 01aa 上上上 1 求函数的表达式 xf 2 当时 都有成立 求的范围 1 1 x 2 1 1 0fafa a 3 当时 的值恒为负数 求的范围 2 x 4 xfa 分析 1 换元处理 2 要求 a 的范围 可以解不等式 如何来解不等式 思路 1 化简左边 代入处理 思路 2 借助奇偶性 单调性处理 3 将恒成立问题转化为最值问题 解析 1 令 则 即tx a log t ax 1 2 tt aa a a tf 1 2 xx aa a a xf 2 由 1 可知 为奇函 1 2 xx aa a a xf xfxf xfy 数 任取 不妨设 则Rxx 21 21 xx 1 1 1 21212211 222 21 xxxxxxxx aaaa a a aa a a aa a a xfxf 1 1 1 1 21 21 21 12 21 22xx xx xx xx xx a aa a a a aa aa a a 当时 1 a01 2 a0 21 xx aa0 21 xx a 0 21 xfxf 在上单调递增 xf R 15 当时 10 a01 2 a0 21 xx aa0 21 xx a 0 21 xfxf xf 在R上单调递增 所以 综合 可知 在上单调递增 1 2 xx aa a a xf R 1 0 1 1 2 mfmf 1 1 2 mfmf 为奇函数 xfy 1 1 22 mfmf 又在上单调递增 1 1 2 mfmf xf 1 1 1111 2 mm 解得 21 m 3 由题意可知 当时 恒成立 即 2 x04 xf04 max xf 又由 2 可知 当时 2 x a a fxf 1 2 2 max 即 解得且04 1 2 a a 3232 a1 a 终结性测试卷部分终结性测试卷部分 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 分 1 若函数在上是增函数 在上是减函数 则 2 21f xxmx 1 1 1 f 2 下列各组函数中 表示相同函数的是 请填序号 1 f x 0 g xx 2 lg f xx 2lg g xx 323 f xxg xx f xx g tt 3 2010 年陕西 已知函数 若 则 f x 2 32 1 1 xx xax x 0 4 ffa a 4 已知 51 2 a 函数 x f xa 若实数m n满足 f mf n 则m n的大 小关系为 5 2010 年湖北 函数的定义域为 0 5 1 log 43 y x 16 6 如果函数 的定义域为 则 f xax 1 2 1 a 7 下列函数中 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 Rxxy 3 Rxxy sinRxxy Rx x y 2 1 8 已知函数是定义在上的偶函数 当时 则当 xfR 0 x 4 xxxf 时 0 x xf 9 已知函数的定义域为 则函数的定义域为 yf x 01 2 yf x 10 2010 年山东 设为定义在上的奇函数 当时 f xR0 x 22 x f xxb 为常数 则 b 1 f 11 已知偶函数在区间上是增函数 则满足的实数的取值 xf 0 1 21 3 fxf x 范围是 12 若函数在上是减函数 则实数 a 的范围是 32 61 1 1 x axax f x ax R 13 若定义在上的函数满足 0 2 1 0 4 log2 xxfxf xx 则 R f x f x 3 f 14 已知函数 则是的 条件 3 2010f xxx 0 ba0 bfaf 二 解答题二 解答题 本大题共本大题共 6 题 共题 共 90 分分 15 已知函数 2 1 1 1 1 11 23 1 x x f xxx xx 1 求的值 2 fff 2 若 求的值 3 2 f a a 16 设函数 2 68f xkxkxk 1 当时 求函数的定义域 2k f x 2 若函数的定义域为 求实数的取值范围 f xRk 17 已知二次函数满足且 2 f xaxbxc 1 2f xf xx 0 1f 17 1 求的解析式 f x 2 若在区间上的图象在的图象上方 求实数的范围 1 1 yf x 2yxm m 18 如图 在边长为 4 的正方形 ABCD 上有一点 P 沿着折线 BCDA 由 B 点 起点 向 A 点 终点 移动 设 P 点移动的路程为 x ABP 的面积为 yf x A B C D P 1 求 ABP 的面积与 P 移动的路程间的函数关系式 2 作出函数的图象 并根据图象求y的最大值 19 已知函数 且 的图像关于坐标原点对称 log 1 a mx f x x 0a 1a 1 求实数的值 m 2 求函数的定义域 f x 3 解不等式 0f x 20 已知定义域为的函数是奇函数 R 1 2 2 x x b f x a 1 求的值 a b 2 若对任意的 不等式恒成立 求的取值范围 tR 22 2 2 0f ttftk k 终结性测试卷答案 1 0 2 3 2 4 mn 5 3 1 4 18 6 2 7 8 4 xx 9 21 10 3 11 12 33 提示 由于是偶函数 故 得 xf f xfx 1 21 3 fxf 再根据在区间上是增函数得 解得 1 3 x 2 3 xf 0 1 21 3 x 12 3 2 8 3 13 提示 由已知得 2 2 1 log 5f 0 2f 2 1 0 1 2log 5fff 2 2 1 0 log 5fff 3 2 1 2fff 14 充要条件 15 解 1 2 431f 2 1 1 12fff 13 2 2 1 22 ffff 2 对于分段函数 我们可以分段处理 当时 令 则 1a 13 1 2a 2a 当时 令 则11a 2 3 1 2 a 2 2 a 当时 令 则 舍去1a 3 23 2 a 3 4 a 3 1 4 综上得 或2a 2 2 a 16 解 1 当时 由题意得 即 即2k 2 212100 xx 1 5 0 xx 19 51xx 或 定义域为 51 x xx 或 2