高一数学必修1各章知识点总结 例题解析 习题及答案.doc

疯狂国际教育（内部）函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域经典例题透析 类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)(2)(3)(4)思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.解：(1)，对应关系不同，因此是不同的函数；(2)的定义域不同，因此是不同的函数；(3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；(4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)2.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)； (2)；(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)的定义域为x2-20， ；(2)；(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有分式分母不为零；偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.2值域 : （先考虑其定义域）实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的最高点和最低点，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.4. 求值域(用区间表示)： (1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+33，值域为3，+)；(2)；(3)；(4)，函数的值域为(-，1)(1，+).3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法描点法：图象变换法常用变换方法有三种平移变换伸缩变换对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? (1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；(2)A=平面内的三角形，B=平面内的圆，对应法则f：作三角形的外接圆；(3)A=平面内的圆，B=平面内的三角形，对应法则f：作圆的内接三角形思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一” 解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为 A=x|x0或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与 之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无 数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正 三角形便可成为映射总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集9. 已知，求f(0)，ff(-1)的值. 思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系. 解：f(0)=202+1=1ff(-1)=f2(-1)+3=f(1)=212+1=3.举一反三：【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，fff(-1)+1的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；fff(-1)+1=ff-1+1=ff(0)=f()=+1.补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。学习成果测评基础达标一、选择题1判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )，；，；，；，；，A、 B、 C D、2函数y=的定义域是( )A-1x1 Bx-1或x1 C0x1 D-1，13函数的值域是( )A(-，)(，+)B(-，)(，+)CR D(-，)(，+)4下列从集合A到集合B的对应中：A=R，B=(0，+)，f:xy=x2；A=-2，1，B=2，5，f:xy=x2+1；A=-3，3，B=1，3，f:xy=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )A 1 B 2 C 3 D 45已知映射f:AB，在f的作用下，下列说法中不正确的是( ) A A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象 B B中元素可以有两个原象C A中的任何元素有且只能有唯一的象D A与B必须是非空的数集6点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A(，1) B(1，3) C(2，6) D(-1，-3)7已知集合P=x|0x4， Q=y|0y2，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( )Ay= By= Cy=x Dy=x28下列图象能够成为某个函数图象的是( ) 9函数的图象与直线的公共点数目是( )A B C或 D或10已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( )A B C D11已知，若，则的值是( )A B或 C，或 D12为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( )A沿轴向右平移个单位 B沿轴向右平移个单位C沿轴向左平移个单位 D沿轴向左平移个单位1设函数则实数的取值范围是_2函数的定义域_3函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_4若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_5函数的定义域是_6函数的最小值是_三、解答题1求函数的定义域2求函数的值域3根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知；(5)已知f(x)的定义域为R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).答案与解析： 基础达标一、选择题1C(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应法则不同；(4)定义域相同，且对应法则相同；(5)定义域不同2D由题意1-x20且x2-10， -1x1且x-1或 x1，x=1，选D3B法一：由y=，x= y， 应选B法二：4C提示：不是，均不满足“A中任意”的限制条件5D提示：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间6A设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=， y=1，应选A7C0x4， 0x=2，应选C8C9C有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于仅有一个函数值10D按照对应法则， 而，11D该分段函数的三段各自的值域为，而 12D平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”， 即，左移二、填空题1. 当，这是矛盾的；当.2. 提示：.3.4. 设，对称轴，当时，.5. .6. 三、解答题1解：，定义域为2解： ，值域为3解：(1).提示：利用待定系数法； (2).提示：利用待定系数法； (3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1变为f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=(x+3)+42； (4)f(x)=x2+2.提示：整体代换，设； (5).提示：利用方程，用-x替换2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一个新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，联立得二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）a.增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. b.减函数如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 任取x1，x2D，且x11，且*负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质(1) (2) (3)（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2、a.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. b.指数函数的图象和性质 a10a1定义域 R定义域 R值域y0值域y0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；二、对数函数（一）对数1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数， 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中).4.对数的运算性质如果，那么加法：减法：数乘：换底公式：指数式与对数式的互化 幂值 真数 N b 底数 指数 对数（二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且2、对数函数的性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.3、反函数1.反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.2.反函数的性质(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.3.反函数的求法(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2)从原函数式中反解出；(3)将改写成，并注明反函数的定义域.四、指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数互为反函数.(1) y=ax y=bx y=cx y=dx 则：0ba1dc 又即：x(0，+)时，bxaxdxaxdxcx(2) y=logax y=logbx y=logcx y=logdx 则有：0ba1dc 又即：x(1，+)时，logaxlogbx0logcxlogbx0logcxlogdx1已知函数(1)求函数的单调增区间；(2)求其单调增区间内的反函数解：复合函数y=fg(x)的单调性与y=f(t)，t=g(x)的单调性的关系：同增异减(1)函数的定义域x|x2，又t=x2-2x=(x-1)2-1 x(-，0)，t是x的减函数而是减函数， 函数f(x)在(-，0)为增函数(2)函数f(x)的增区间为(-，0)， 令，则 ， x0，五、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象. 幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点. (3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中 互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则 是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.基础达标测试题一、选择题1下列函数与有相同图象的一个函数是( )A BC D2下列函数中是奇函数的有几个( ) A1 B2 C3 D43函数与的图象关于下列那种图形对称( )A轴 B轴 C直线 D原点中心对称4已知，则值为( )A B C D. 5（2011江西文3）若，则的定义域为( )A B C D 6三个数的大小关系为( )A. B. CD. 7若，则的表达式为( )A B C D 8对于，给出下列四个不等式 其中成立的是( )A与 B与 C与 D与 9若,则( )A BC D二、填空题10从小到大的排列顺序是_.11化简的值等于