调和级数发散性若干证法及应用.doc

黄山学院2008届数学与应用数学专业毕业论文题 目 调和级数发散性若干证法及应用 姓 名 王 文 所在院系 数 学 系 专业班级 04级数本（一）班 学 号 2040321019 指导教师 郑海燕 日 期 2008年 5月 16日 目 录中文摘要.2 英文摘要.2 正文 引言.3 1 调和级数发散性的证明方法.3 调和级数发散性的几种证法.3 2 调和级数发散性证明若干种方法的应用.7调和级数 发散性若干证法的应用.73 调和级数的应用.11 3.1 调和级数发散作为反例在无穷级数中的应用.113.2 调和级数发散性在证明其它级数发散时的应用.12结论.12 参考文献.13关于调和级数发散的若干证法及应用 04级数学与应用数学 王文 指导老师 郑海燕摘要： 本文给出了调和级数发散的10种证明方法，并举例应用这些证明方法，以达到举一反三，触类旁通的效果。并针对调和级数在用比较判别法证明其它级数敛散性时的重要性，给出了它在级数证明中的一些应用。关键词：调和级数,发散性,柯西收敛准则.On Several Methods To Prove Reconcile the Divergentseries And Its Application Wang WenAbstract: Ten kinds certificate methods will be given to prove reconcile the divergent series, and give an example applying these certificates putting in method, to reach the effect infering other things from one fact , achieving mastery through a comprehensive study. The significance specifically for harmonious progression, has given him out a little application in proving that in progression in the main body of a book.Keywords: Harmonic series, Divergent , Cauchys test of convergence.引言数学分析中在级数部分有一个很重要的级数调和级数，它为研究级数敛散性提供了重要的理论基础，在级数敛散性的讨论中，调和级数应用很广泛，其发散性的证明方法也很多。了解这些证明方法对级数的敛散性的学习和研究是有益的，特别是初学者，在敛散性证明方面能起到举一反三、融会贯通的作用。1. 调和级数发散性的证明方法1.1调和级数 发散性的几种证法1. 应用柯西收敛准则证引理：（柯西收敛准则）任给正数，总存在自然数N，使得当mN和任意的自然数p时，+，则称级数收敛。由上述引理很容易得到级数发散的定义：若存在某正整数，对于任何自然数N，总存在自然数（N）和，有+，则称级数发散。下面证明调和级数发散：令p=m，有于是取=，对自然数N，只要mN和p=m,就满足定义，所以调和级数发散。2. 应用积分方法证明积分变量xn (n+1)-n2-1+3-2+(n+1)-n=(n+1) ,所以调和级数发散。3. 应用不等式证因为调和级数前n项部分和为：，所以数列单调递增。对于是上述正整数n，必存在一个正整数m，使得成立，且当时，有，因此，=1+（）+（）+（）且当时有，而，所以不存在故调和级数发散。4. 应用反证法证明（下面介绍两种方法证明）证法一： 设 则即假设调和级数收敛，其和为s，则于是有0（），这是不可能的因此假设不成立，故调和级数发。证法二：假设级数收敛，即 则 即 此式显然矛盾，故调和级数发散。5. 应用加可括号法我们只要能够证出级数的和任意大，就能够证明调和级数是发散的。下面证明， 由此可看出的和可任意大，因此调和级数发散。6. 应用子列发散来证明级数发散从级数的敛散性可知，级数的敛散性可归结为它的部分和数列（）的敛散性，因此我们只需证明部分和数列的子列发散即可。下面证明：） 所以 即 故数列发散，从而调和级数发散。7. 应用厄耳玛可夫判别若为单调减少的正值函数，且，则：当时，级数收敛；当时，级数发散。令，则 故级数发散8应用构造法构造数列. 下证数列存在极限因为 所以 从而有 上述这些不等式两边相加得 所以 即有界.其次应用不等式可得 故又是一个单调下降的数列，因此存在，设为.即 即 所以 故调和级数发散.9. 应用级数（其中）与级数有相同的敛散性。 先来证明级数与级数同时收敛同时发散 记，由上递减的正项数列 若，则 反之，当，则 即 。 所以，数列与 同时有界或同时无界，因此，级数与级数同时收敛同时发散 下证调和级数发散 取 而级数=发散 故调和级数发散。 2.调和级数发散性证明若干种方法的应用2.1调和级数发散性若干证法的应用调和级数发散性在第一部分中的若干证法，在解决实例中有着广泛的应用，这些方法在解决级数敛散性问题时能起到举一反三的作用，下面就举一些例子运用这些方法。例1. 应用柯西收敛准则证明级数发散。证明：取，对N，当，及时，所以，由柯西准则推得，级数发散。例2. 应用反证法证明级数发散。 证明： 设则 假设级数收敛，则于是当时，有，显然矛盾。故假设不成立，所以该级数发散。例3. 。证明： 则级数 令 下面， 记数列收敛于0，而，由前面证明可知， 而例4.证明级数是发散的。 证明：由第一部分中的第7小点可知，此题可用厄耳玛可夫判别法证明，下证， 令,则 故该级数发散。例5.应用积分法证明级数发散。证明：记，故 ，又 在 上为非负减函数而无穷积分所以级数发散。例6.证明级数收敛。证明：引入新级数 及记，则因为 由莱布尼茨判别法知，级数收敛因此有对，对一切正整数，及，都有而对级数，只要，不妨设有正整数m， 及任何正整数q，设相应有 其中，由级数收敛的柯西准则得, 级数收敛。此种证明方法可归结为构造法。 3.调和级数应用3.1 调和级数发散作为反例在无穷级数中的应用例1.数列收敛，级数 不一定收敛；反之，级数发散，数列不一定发散。解析 数列收敛，但级数发散。又级数发散，但数列收敛。例2. 如果级数收敛，则，它只是级数收敛的一个必要条件，而不是充分条。反例 调和级数=，尽管，但调和级数发散。例3. 若级数收敛，则级数是否收敛？解析 不一定收敛，若，则，则收敛，可推出也收敛。若，则，则收敛，但发散。例4. 设为正项级数，且，能否断定收敛？解析 取，则 但级数=发散。例5. 若数列收敛，则是否成立？ 解析 此命题为假命题，取，则 则例6. 如果， ， ，试问级数是否一定收敛？ 解析 不一定，反例：级数， 对pN，有，满足题中条件，但级数发散。3.2调和级数发散性在证明其它级数发散时的应用例1.证明：级数发。证明： 由比较判别法知 级数与级数有相同的敛散性又由于级数发散，所以级数发散。例2. 证明级数发散。 证明：， 由比较判别法知该级数发散。结论本文总结了10种证明调和级数发散性的方法，并就其中的若干种方法在证明实例中加以应用。最后举例如何应用调和级数。参考文献1华东师范大学出版社编，数学分析，高等教育出版社,2001年.2吴鹏,证明调和级数发散性的三种方法,成