最值的运用.docx

最值的有关运用摘要：在实际应用中常常会遇到有关最大值和最小值的问题，如成本最小，利润最大等。这类问题可归结为求目标函数在某一范围的最值。关键词：最值 ，单调性，极值，求导，实际应用，数形结合，线性规划正文：在实际应用中常常会遇到有关最大值和最小值的问题，如成本最小，利润最大等。这类问题可归结为求目标函数在某一范围的最值。最值的定义：设函数y=f(x)定义域为I，如果存在实数M，使得任意xI都有f(x)M,同时有f(a)=M（aI），则M为函数的最大值；同理，可得最小值定义。 由闭区间上连续函数性质可知，如果最值在区间内取得，由极值定义可知，最值必为函数极值。由于最值可能在定义域端点取得，因此需要进行比较。导数法求最值：1、求出F(X)在（A，B）内的驻点和导数不存在的点，设他们为x1,x2,x3,.2、比较函数值f(a),f(b)f(x1),f(x2).的大小，最大极为最大值最小极为最小值配方法：求二次函数基本方法，通过对y=af(x)2+bf(x)+c配方，用二次函数的性质解决。还原法：通过引入新的变量代换原有变量或代数式，简化原有问题，方便求解。如三角代换。不等式法：利用均值不等式及其一系列的变形式来解决函数最值。基本不等式：a2+b22ab.函数单调性法：先求出函数的单调性，然后根据函数单调性求函数最值。最值的实际运用解题的关键是根据题意，建立恰当的函数关系式。1、分析问题中的变量关系2、建立函数关系式在实际问题中，对自变量常常有多个约束条件，常用拉格朗日乘数法求值，简化运算过程。最值的运用有关例题1、设是定义在上以2为周期的周期函数,且为偶函数,已知在区间2,3上=2(3)2+4,（）求时的解析式；（）若矩形ABCD的两个顶点A、B在轴上，另两个顶点C、D在函数的图象上，求这个矩形面积的最大值.解（）设（）设则， 当 设 矩形ABCD面积令且左正右负，2、一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有的面积，问应如何设计十字型宽及长，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.解 设 由条件知:即 设外接圆的半径为R，即求R的最小值， 等号成立时， 当时R2最小，即R最小，从而周长最小， 此时3、铁路上AB段的距离为100km，c厂离A处20km，AC垂直AB，为运输方便，要在AB线上选择一点D向工厂修建一条公路，已知一单位货物铁路公路运输费用比为3:5，为使货物从供应站B运到工厂C的费用最低，D该在哪里？解 设铁路运费为3k(k0),则公路运费为5k，设D点距A x km，则所需的总费用为F（x）.由题意得F(x)=3k(100-x)+5k202+x2,0x100F(x)=-3k+5k2x2202+x2k令F(x)=0解得x=15最值问题更也出现在经济活动中，包括物品的定价，生产计划，4、假设某工厂生产某件产品x千件的成本是c(x)=x3-6x2+15x,售出该产品x千件收入为r(x)=9x，问是否存在一个取得最大利润的生产水平？如果存在，求出该值。解 由题意得，售出x千件产品的利润为p(x)=r(x)-c(x)如果利润最大则函数p(x)取得最大值，在p（x）=0处取得即 r(x)=c(x) 得x2-4x+2=0解得 x=482 x1=0.586 x2=3.414P(x)=-6x+12,p(x1)0,p”(x2)0所以x1=0.586发生局部亏损,x2=3.414达到最