北师大版八年级数学上册第四章第4节《矩形与正方形》 2课时课件

4矩形 正方形 1 能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论 2 能运用矩形的性质进行简单的证明与计算 3 经历探索正方形性质判定定理的过程 4 掌握正方形性质和判定方法 发展学生的逻辑推理能力和有条理的表达能力 四边形 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形 因此平行四边形除具有四边形的性质外 还有它的特殊性质 同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形 这堂课我们就来研究一种恃殊的平行四边形 矩形 分析 1 矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程 2 矩形只比平行四边形多一个条件 一个角是直角 不能用 四个角都是直角的平行四边形是矩形 来定义矩形 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形与平形四边形之间的关系 3 矩形是特殊的平行四边形 具有平行四边形的一切性质 共性 还具有它自己特殊的性质 个性 4 从边 角 对角线方面 观察或度量猜想矩形的特殊性质 边 对边分别平行且相等 与平行四边形相同 邻边互相垂直 角 四个角是直角 性质1 对角线 相等且互相平分 已知 如图 四边形ABCD是矩形 求证 A B C D 90 解析 由矩形的定义 利用对角相等 邻角互补可使问题得证 证明 四边形ABCD是矩形 A 90 四边形ABCD是平行四边形 C A 90 B 180 A 90 D 180 A 90 四边形ABCD是矩形 定理 矩形的四个角都是直角 1 已知 如图 AC BD是矩形ABCD的两条对角线 求证 AC BD 分析 根据矩形的性质 可转化为全等三角形 SAS 来证明 证明 四边形ABCD是矩形 AB DC ABC DCB 90 BC CB ABC DCB SAS AC DB 定理 矩形的两条对角线相等 2 练一练 如图在矩形ABCD中 AB AB AD AD BAD 90 AC 2AO 2 2 2 问 在Rt ABC中 斜边AC上的中线是 它与斜边的关系是 AC 问 是不是所有的三角形都有这样的性质 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 CD CD BC BC ADC BCD ABC BD OC OB OD OB OB 已知 如图 在 ABCD中 对角线AC BD 求证 四边形ABCD是矩形 解析 要证明 ABCD是矩形 只要证明有一个角是直角即可 证明 四边形ABCD是平行四边形 AB CD AB CD AC DB BC CB ABC DCB ABC DCB ABC DCB 180 ABC 90 四边形ABCD是矩形 定理 对角线相等的平行四边形是矩形 1 已知 如图 在四边形ABCD中 A B C 90 求证 四边形ABCD是矩形 解析 利用同旁内角互补 两直线平行来证明四边形是平行四边形 可使问题得证 证明 A B C 90 A B 180 B C 180 AD BC AB CD 四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是矩形 定理 有三个角是直角的四边形是矩形 四条边都相等的四边形是菱形 有三个角是直角的四边形是 有一个角是直角的 是矩形 对角线 的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是 有一个角是直角 且对角线 的四边形是矩形 平行四边形 矩形 相等 矩形 互相平分且相等 2 填空 由正方形的定义可知 正方形既是有一组邻边相等的矩形 又是有一个角为直角的菱形 如图 1 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形是特殊的平行四边形 也是特殊的矩形 也是特殊的菱形 正方形的性质 菱形性质 矩形性质 定理 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 定理 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 已知 四边形ABCD是正方形 AC BD是它的两条对角线 求证 1 AC BD AC BD AO CO BO DO 2 AC平分 BAD和 BCD BD平分 ADC和 ABC 证明 四边形ABCD是正方形 四边形ABCD是平行四边形 也是矩形 也是菱形 AO CO BO DO AC BD AC BD AC平分 BAD和 BCD BD平分 ADC和 ABC 定理 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 1 已知 四边形ABCD是正方形 求证 1 A B C D 90 2 AB BC CD DA 解析 因为正方形具有矩形和菱形的所有性质 所以结论易证 证明 四边形ABCD是正方形 四边形ABCD是矩形 也是菱形 A B C D 90 AB BC CD DA 定理 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 已知 四边形ABCD是矩形 AB BC 求证 四边形ABCD是正方形证明 四边形ABCD是矩形 AB CD AD BC A 90 AB BC AB BC CD AD四边形ABCD是正方形 定理 有一组邻边相等的矩形是正方形 已知 四边形ABCD是矩形 AC BD是它的两条对角线 AC BD求证 四边形ABCD是正方形 证明 AC BD AOB COB 90 四边形ABCD是矩形 AO CO又 BO BO AOB COB AB BC四边形ABCD是正方形 定理 对角线互相垂直的矩形是正方形 已知 四边形ABCD是菱形 AC BD是它的两条对角线 AC BD求证 四边形ABCD是正方形 证明 四边形ABCD是菱形 AB BC CD DA在 ABC和 BCD中AB BC BC CD AC BD ABC BCD ABC BCD AB CD ABC BCD 180 ABC BCD 90 四边形ABCD是正方形 定理 有一个角是直角的菱形是正方形 正方形的判定方法 1 相等的菱形是正方形 2 有一个角是直角的 是正方形 3 对角线 的矩形是正方形 4 的矩形是正方形 对角线 菱形 互相垂直 有一组邻边相等 1 2010 巴中中考 如图所示 已知 ABCD 下列条件 AC BD AB AD 1 2 AB BC中 能说明 ABCD是矩形的有 填写序号 解析 根据对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的定义 答案 2 2010 义乌中考 下列说法不正确的是 A 一组邻边相等的矩形是正方形B 对角线相等的菱形是正方形C 对角线互相垂直的矩形是正方形D 有一个角是直角的平行四边形是正方形 D 3 2010 南安中考 已知四边形ABCD中 A B C 90 如果添加一个条件 即可推出该四边形是正方形 那么这个条件可以是 A D 90 B AB CDC AD BCD BC CD D 4 2010 益阳中考 如图 在 ABC中 AB AC 8 AD是底边上的高 E为AC中点 则DE 解析 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得 DE等于AC的一半 所以DE 4 答案 4 5 2010 聊城中考 如图 在等边 ABC中 点D是BC边的中点 以AD为边作等边 ADE 1 求 CAE的度数 2 取AB边的中点F 连结CF CE 试证明四边形AFCE是矩形 解析 1 在等边 ABC中 点D是BC边的中点 DAC 30 又 等边 ADE DAE 60 CAE 30 2 在等边 ABC中 F是AB边的中点 D是BC边的中点 CF AD CFA 90 又 AD AE AE CF 由 1 知 CAE 30 EAF 60 30 90 CFA EAF CF AE AE CF 四边形AFCE是平行四边形 又 CFA 90 四边形AFCE是矩形 6 已知 如图 四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的 M N 分别为BC AD的中点 求证 四边形BMDN是矩形 证明 在正三角形ABD和BCD M N 分别为BC AD的中点 BN AD DM BC DBC 60 BND DMB 90 NBD 30 NBM 90 四边形BMDN是矩形 7 已知 如图 AC BD是矩形ABCD的两条对角线 AC BD相交于点O AOD 120 AB 2 5cm 求矩形对角线的长 解析 四边形ABCD是矩形 AC BD 且 OA OD AOD 120 ODA OAD DAB 90 BD 2AB 2 2 5 5 cm 你认为本题还可以怎样解 8 2010 晋江中考 如图 将一张正方形纸片剪成四个小正方形 得到4个小正方形 称为第一次操作 然后 将其中的一个正方形再剪成四个小正方形 共得到7个小正方形 称为第二次操作 再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形 共得到10个小正方形 称为第三次操作 根据以上操作 若要得到2011个小正方形 则需要操作的次数是 A 669B 670C 671D 672 B 9 2010 威海中考 从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后 将其截成四个相同的等腰梯形 如图 可以拼成一个平行四边形 如图 现有一平行四边形纸片ABCD 如图 已知 A 45 AB 6 AD 4 若将该纸片按图 方式截成四个相同的等腰梯形 然后按图 方式拼图 则得到的大正方形的面积为 10 如图 已知正方形ABCD 以AB为边向正方形外作等边三角形ABE 连结DE CE 则 DEC 解析 ABE为等边三角形 BAE 60 DAE 150 ABE为等腰三角形 AED 15 同理 BEC 15 所以 DEC 30 答案 30 通过本课时的学习 需要我们掌握 1 矩形的性质 1 矩形的四个角都是直角 2 矩形的对角线相等 3 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2 矩形的判定定理 1 定义 有