高考数学一轮总复习 第十七章 坐标系与参数方程课件 理 新人教B版.ppt

第十七章坐标系与参数方程 高考理数 1 坐标系与极坐标 1 极坐标系的概念 在平面内取一个定点o 叫做极点 自极点o引一条射线ox 叫做极轴 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 设m是平面内一点 极点o与点m的距离 om 叫做点m的极径 记为 以极轴ox为始边 射线om为终边的 xom叫做点m的极角 记为 有序数对 叫做点m的极坐标 记为m 一般地 不作特殊说明时 我们认为 0 可取任意实数 2 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点 x轴的正半轴作为极轴 并在两种坐标系中取相同的长度单位 设m是平面内任意一点 它的直角坐标 极坐标分别为 x y 和 则 知识清单 3 直线的极坐标方程 若直线过点m 0 0 且与极轴所成的角为 则它的方程为 sin 0sin 0 几个特殊位置的直线的极坐标方程 i 直线过极点 0和 0 ii 直线过点m a 0 且垂直于极轴 cos a iii 直线过点m且平行于极轴 sin b 4 圆的极坐标方程 圆心为m 0 0 半径为r的圆的方程为 2 2 0cos 0 r2 0 几个特殊位置的圆的极坐标方程 i 圆心位于极点 半径为r r ii 圆心位于m a 0 半径为a 2acos iii 圆心位于m 半径为a 2asin 2 参数方程 1 参数方程的意义 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值 由上述方程组所确定的点 x y 都在这条曲线上 则该方程叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 注意 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 2 常见曲线的参数方程的一般形式 i 经过点p0 x0 y0 倾斜角为 的直线的参数方程为 t为参数 设p是直线上的任一点 则t表示有向线段的数量 ii 圆的参数方程为 为参数 iii 圆锥曲线的参数方程椭圆 1 a b 0 的参数方程为 为参数 双曲线 1 a 0 b 0 的参数方程为 为参数 抛物线y2 2px的参数方程为 t为参数 注 曲线上任一点的坐标都可用一个参数表示 变元只有一个 特别对于圆 圆锥曲线有很大用处 参数方程化为普通方程 主要用 消元法 消参 常用代入法 加减消元法 三角恒等式消元等 在参数方程化为普通方程时 要注意保持同解变形 无论极坐标方程 参数方程还是普通方程 在进行互化时 一定要注意变量的范围 要注意转化的等价性 求曲线的极坐标方程的一般步骤 例1 2015课标 23 10分 选修4 4 坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中 直线c1 x 2 圆c2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 突破方法 方法1极坐标方程及应用 1 求c1 c2的极坐标方程 2 若直线c3的极坐标方程为 r 设c2与c3的交点为m n 求 c2mn的面积 解析 1 因为x cos y sin 所以c1的极坐标方程为 cos 2 c2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 5分 2 将 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 得 2 3 4 0 解得 1 2 2 故 1 2 即 mn 由于c2的半径为1 所以 c2mn的面积为 10分 规律总结直角坐标 x y 化为极坐标 的步骤 1 运用 tan x 0 2 在 0 2 内由tan x 0 求 时 先由直角坐标的符号特征判断点所在的象限和极角 的范围 再求 的值 直角坐标方程极坐标方程 1 1 2015贵州遵义一模 23 10分 已知在一个极坐标系中 点c的极坐标为 1 求出以c为圆心 2为半径长的圆的极坐标方程 写出解题过程 并画出图形 2 在极坐标系中 以圆c所在极坐标系的极点为原点 极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系 点p是圆c上任意一点 q 5 m是线段pq的中点 当点p在圆c上运动时 求点m的轨迹的普通方程 解析 1 如图 设圆c上任意一点a 则 aoc 或 由余弦定理得4 2 4 cos 4 圆c的极坐标方程为 4cos 2 在直角坐标系中 点c的坐标为 1 可设圆c上任意一点p 1 2cos 2sin 设m x y 由q 5 m是线段pq的中点 得m的参数方程为 为参数 点m的轨迹的普通方程为 x 3 2 y2 1 参数方程化为普通方程的注意事项 在将曲线的参数方程化为普通方程时 不仅要把参数消去 还要注意x y的取值范围 即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 例2 2014课标 23 10分 选修4 4 坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 半圆c的极坐标方程为 2cos 1 求c的参数方程 2 设点d在c上 c在d处的切线与直线l y x 2垂直 根据 1 中你得到的参数方程 确定d的坐标 解析 1 c的普通方程为 x 1 2 y2 1 0 y 1 可得c的参数方程为 t为参数 0 t 2 设d 1 cost sint 由 1 知c是以g 1 0 为圆心 1为半径的上半圆 方法2参数方程及应用 因为c在点d处的切线与l垂直 所以直线gd与l的斜率相同 tant t 故d的直角坐标为 即 规律总结由参数方程得到普通方程的思路是消参 消去参数的方法要视情况而定 一般有三种情况 1 利用解方程的技巧求出参数的表达式 然后代入消去参数 或直接利用加减消元法消参 2 利用三角恒等式消去参数 一般是将参数方程中的两个方程分别变形 使得一个方程一边只含有sin 另一个方程一边只含有cos 两个方程分别平方后两式左右相加消去参数 3 根据参数方程本身的结构特征 选用一些灵活的方法从整体上消去参数 2 1 2016云南昆明质检三 23 10分 已知曲线c1的参数方程为 t为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c2的极坐标方程为 2sin 1 把c1的参数方程化为极坐标方程 2 求c1与c2交点的极坐标 0 0 2 解析 1 将消去参数t 化为普通方程 x 4 2 y 5 2 25 即c1 x2 y2 8x 10y 16 0 将代入x2 y2 8x 10y 16 0得 2 8 cos 10 sin 16 0 所以c1的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0 2 c2的普通方程为x2 y2 2y 0 由解得或所以c1与c2交点的极坐标分别为 涉及参数方程和极坐标方程的综合题 求解方法一般是分别化普通方程和直角坐标方程后求解 要求掌握直线 圆及圆锥曲线的极坐标方程和参数方程 例3 2015课标 23 10分 选修4 4 坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中 曲线c1 t为参数 t 0 其中0 在以o为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线c2 2sin c3 2cos 1 求c2与c3交点的直角坐标 2 若c1与c2相交于点a c1与c3相交于点b 求 ab 的最大值 解析 1 曲线c2的直角坐标方程为x2 y2 2y 0 曲线c3的直角坐标方程为x2 y2 2x 0 联立解得或所以c2与c3交点的直角坐标为 0 0 和 方法3参数方程与极坐标方程的综合应用 2 曲线c1的极坐标方程为 r 0 其中0 因此a的极坐标为 2sin b的极坐标为 2cos 所以 ab 2sin 2cos 4 当 时 ab 取得最大值 最大值为4 3 1 2015甘肃一模 23 10分 在直角坐标系xoy中 圆c的参数方程为 为参数 以o为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 1 求圆c的极坐标方程 2 直线l