高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的单调性与最值课件.ppt

第二章函数概念与基本初等函数i 2 2函数的单调性与最值 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 答题模板系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 知识梳理 1 答案 上升的 下降的 2 单调区间的定义 如果函数y f x 在区间d上是或 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 叫做y f x 的单调区间 增函数 减函数 区间d 答案 2 函数的最值 f x m f x0 m f x m f x0 m 答案 1 函数单调性的两种等价形式设任意x1 x2 a b 且x1 x2 那么 知识拓展 2 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在 a b 上是增函数 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在 a b 上是减函数 2 函数的值域和最值的区别与联系 1 函数的值域一定存在 而函数的最值不一定存在 2 若函数的最值存在 则一定是值域中的元素 若函数的值域是开区间 则函数无最值 若函数的值域是闭区间 则闭区间的端点值就是函数的最值 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在增函数与减函数的定义中 可以把 任意两个自变量 改为 存在两个自变量 2 对于函数f x x d 若x1 x2 d且 x1 x2 f x1 f x2 0 则函数f x 在d上是增函数 3 函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的单调递增区间是 1 思考辨析 答案 4 函数y 的单调递减区间是 0 0 5 所有的单调函数都有最值 6 对于函数y f x 若f 1 f 3 则f x 为增函数 答案 y2 x在 0 内是增函数 b c d选项中的函数在 0 上均不单调 故选a a 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a的值为 a 2b 2c 6d 6 c 解析答案 1 2 3 4 5 a 增函数b 减函数c 先增后减d 先减后增 解析由y ax在 0 上是减函数 知a 0 又 y ax2 bx的开口向下 y ax2 bx在 0 上是减函数 故选b b 解析答案 1 2 3 4 5 2 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知函数f x x2 2ax 3在区间 1 2 上具有单调性 则实数a的取值范围为 解析函数f x x2 2ax 3的图象开口向上 对称轴为直线x a 画出草图如图所示 由图象可知函数在 a 和 a 上都具有单调性 因此要使函数f x 在区间 1 2 上具有单调性 只需a 1或a 2 从而a 1 2 1 2 解析答案 返回 1 2 3 4 5 题型分类深度剖析 命题点1给出具体解析式的函数的单调性 解析y ln x 2 的增区间为 2 在区间 0 上为增函数 a 题型一确定函数的单调性 区间 解析答案 d 所以求原函数的单调递增区间 即求函数t x2 4的单调递减区间 结合函数的定义域 可知所求区间为 2 解析答案 3 y x2 2 x 3的单调增区间为 解析由题意知 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 二次函数的图象如图 由图象可知 函数y x2 2 x 3在 1 0 1 上是增函数 1 0 1 解析答案 命题点2解析式含参函数的单调性 解析答案 解析答案 由于 10 x1 10时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递减 当a0时 f x 在 1 1 上单调递减 当a 0时 f x 在 1 1 上单调递增 解析答案 思维升华 引申探究 解设 1 x1 x2 1 1 x1 x2 1 解析答案 又 a 0 f x1 f x2 0 函数在 1 1 上为减函数 思维升华 确定函数单调性的方法 1 定义法和导数法 证明函数单调性只能用定义法和导数法 2 复合函数法 复合函数单调性的规律是 同增异减 3 图象法 图象不连续的单调区间不能用 连接 跟踪训练1 解析答案 解析答案 有f x1 f x2 0 即f x1 f x2 有f x1 f x2 0 即f x1 f x2 解析答案 题型二函数的最值 解析答案 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 当a 0时 f x 在 1 内为增函数 最小值为f 1 a 3 要使f x 0在x 1 上恒成立 只需a 3 0 即a 3 所以 30 a 3 所以0 a 1 综上所述 f x 在 1 上恒大于零时 a的取值范围是 3 1 解析答案 思维升华 思维升华 求函数最值的常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 2 所以f x 在x 1处取得最大值 为f 1 1 当x 1时 易知函数f x x2 2在x 0处取得最大值 为f 0 2 故函数f x 的最大值为2 跟踪训练2 解析答案 解析答案 命题点1比较大小 当x1 1 2 时 f x1 f 2 0 即f x1 0 b 题型三函数单调性的应用 解析答案 命题点2解不等式 c a 1 1 b 0 1 c 1 0 0 1 d 1 1 解析答案 命题点3求参数范围 解析答案 因为f x 在 4 上单调递增 答案d 解析当a 0时 f x 2x 3 在定义域r上是单调递增的 故在 4 上单调递增 解析答案 思维升华 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 1 比较大小 比较函数值的大小 应将自变量转化到同一个单调区间内 然后利用函数的单调性解决 2 解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时 往往是利用函数的单调性将 f 符号脱掉 使其转化为具体的不等式求解 此时应特别注意函数的定义域 3 利用单调性求参数 视参数为已知数 依据函数的图象或单调性定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比较求参数 需注意若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注意衔接点的取值 1 f x 是定义在 0 上的单调增函数 满足f xy f x f y f 3 1 当f x f x 8 2时 x的取值范围是 a 8 b 8 9 c 8 9 d 0 8 解析2 1 1 f 3 f 3 f 9 由f x f x 8 2 可得f x x 8 f 9 因为f x 是定义在 0 上的增函数 b 跟踪训练3 解析答案 a 1 0 0 1 b 1 0 0 1 c 0 1 d 0 1 d 解析由f x x2 2ax在 1 2 上是减函数可得 1 2 a a 1 解析答案 返回 答题模板系列 典例 14分 函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 思维点拨对于抽象函数的单调性的证明 只能用定义 应该构造出f x2 f x1 并与0比较大小 答题模板系列 1 确定抽象函数单调性函数不等式 解析答案 思维点拨 证明设x1 x2 r 且x10 当x 0时 f x 1 f x2 x1 1 2分 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1 4分 f x2 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 f x 在r上为增函数 7分 规范解答 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 思维点拨将函数不等式中的抽象函数符号 f 运用单调性 去掉 是本题的切入点 要构造出f m f n 的形式 解析答案 答题模板 温馨提醒 思维点拨 返回 解 m n r 不妨设m n 1 f 1 1 f 1 f 1 1 f 2 2f 1 1 9分 f 3 4 f 2 1 4 f 2 f 1 1 4 3f 1 2 4 f 1 2 f a2 a 5 2 f 1 12分 f x 在r上为增函数 a2 a 5 1 3 a 2 即a 3 2 14分 规范解答 答题模板 解函数不等式问题的一般步骤 第一步 定性 确定函数f x 在给定区间上的单调性 第二步 转化 将函数不等式转化为f m f n 的形式 第三步 去f 运用函数的单调性 去掉 函数的抽象符号 f 转化成一般的不等式或不等式组 第四步 求解 解不等式或不等式组确定解集 第五步 反思 反思回顾 查看关键点 易错点及解题规范 温馨提醒 返回 本题对函数的单调性的判断是一个关键点 不会运用条件x 0时 f x 1 构造不出f x2 f x1 f x2 x1 1的形式 便找不到问题的突破口 第二个关键应该是将不等式化为f m f n 的形式 解决此类问题的易错点 忽视了m n的取值范围 即忽视了f x 所在的单调区间的约束 思想方法感悟提高 1 利用定义证明或判断函数单调性的步骤 1 取值 2 作差 3 定量 4 判断 2 确定函数单调性有四种常用方法 定义法 导数法 复合函数法 图象法 也可利用单调函数的和差确定单调性 3 求函数最值的常用求法 单调性法 图象法 换元法 方法与技巧 1 分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性 还要注意衔接点 2 函数在两个不同的区间上单调性相同 一般要分开写 用 或 和 连接 不要用 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 下列函数在 0 1 上为减函数的是 a y cosxb y 2xc y sinxd y tanx a 解析答案 2 函数f x x2 9 的单调递增区间为 a 0 b 0 c 3 d 3 解析函数f x x2 9 的定义域为 3 3 求函数f x x2 9 的单调递增区间即求函数u x x2 9的单调递减区间 即 3 故选d d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 函数图象关于x 1对称 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 若函数f x x2 2x m在 3 上的最小值为1 则实数m的值为 a 3b 2c 1d 1解析 f x x 1 2 m 1在 3 上为单调增函数 且f x 在 3 上的最小值为1 f 3 1 即22 m 1 1 m 2 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析当a 0时 f x 12x 5 在 3 上是减函数 d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 已知函数f x ln 4 x2 则f x 的定义域为 当x 时 f x 有最大值为 解析由4 x2 0得 2 x 2 f x 的定义域为 2 2 当x 0时 f x max ln4 2 2 0 ln4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则a 2 又ax a是增函数 故a 1 所以a的取值范围为1 a 2 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以f x 在 1 1 上单调递减 故f x 在 1 1 上的最大值为f 1 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明任设x1 x2 2 x1 2 x2 2 0 x1 x2 0 f x1 f x2 f x 在 2 上单调递增 1 若a 2 试证明f x 在 2 内单调递增 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 若a 0且f x 在 1 上单调递减 求a的取值范围 解任设1 x1 x2 则 a 0 x2 x1 0 要使f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0在 1 上恒成立 a 1 综上所述 a的取值范围是 0 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 设函数y f x 是定义在 0 上的函数 并且满足下面三个条件 对任意正数x y 都有f xy f x f y 当x 1时 f x 0 f 3 1 解令x y 1易得f 1 0 而f 9 f 3 f 3 1 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 如果不等式f x f 2 x 2成立 求x的取值范围 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由f xy f x f y 得 所以f x 是减函数 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 b中 f x x 1 2在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 c中 f x ex是增函数 d中 f x ln x 1 是增函数 答案a 解析由题意知f x 在 0 上是减函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解