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全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 二次根式二次根式 知识回顾知识回顾 1 1 二次根式 二次根式 式子 0 叫做二次根式 aa 2 2 最简二次根式 最简二次根式 必须同时满足下列条件 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式不含开方开的尽的因数或因式 被开方数中不含分母不含分母 分母中不含不含 根式根式 3 3 同类二次根式 同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后 若被开方数相同 则这几个二次根式就是同类二次根式 4 4 二次根式的性质 二次根式的性质 1 2 0 2 aaa 5 5 二次根式的运算 二次根式的运算 1 因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方 那么 就可以用它 的算术根代替而移到根号外面 如果被开方数是代数和的形式 那么先解因式 变形为积 的形式 再移因式到根号外面 反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面 2 二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式 3 二次根式的乘除法 二次根式相乘 除 将被开方数相乘 除 所得的积 商 仍作积 商 的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab a b a 0 b 0 bb aa b 0 a 0 4 有理数的加法交换律 结合律 乘法交换律及结合律 乘法对加法的分配律以及 多项式的乘法公式 都适用于二次根式的运算 典型例题典型例题 0 aa aa2 0a a 0 0 a 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 1 概念与性质 概念与性质 例例 1 下列各式 1 222 11 2 5 3 2 4 4 5 6 1 7 21 53 xaaa 其中是二次根式的是 填序号 例例 2 求下列二次根式中字母的取值范围 求下列二次根式中字母的取值范围 1 2 x x 3 1 5 2 2 x 例例 3 在根式 1 222 2 3 4 27 5 x abxxyabc 最简二次根式是 A 1 2 B 3 4 C 1 3 D 1 4 例例 4 已知 已知 22 2 1 1881 x y y x x y y x xxy 例例 5 2009 龙岩 已知数 a b 若 2 ab b a 则 A a b B a0 b 0 时 则 1 a ab b 1 a ab b 例 8 比较与的大小 53 23 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 5 规律性问题 规律性问题 例例 1 观察下列各式及其验证过程 验证 验证 1 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路 猜想 4 4 15 的变形结果 并进行验 证 2 针对上述各式反映的规律 写出用 n n 2 且 n 是整数 表示的等式 并给出验证 过程 例例 2 已知 则 a 发展 已知 则 a 例例 3 3 化简下列各式 化简下列各式 1 1 2 2 42 3 52 6 例例 4 已知 a b 0 a b 6ab 则 ab ab 的值为 A 2 2 B 2 C 2 D 1 2 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 例例 5 甲 乙两个同学化简时 分别作了如下变形 甲 乙 其中 A 甲 乙都正确 B 甲 乙都不正确 C 只有甲正确 D 只有 乙正确 题裁不限 教育教学论文 教育叙事 教育案例 教学反思及教学设计等均可参评 3 论文统一用 A4 纸打印 一级标题用小三号黑体 正文用四号仿宋体 正文中各级标题依 此为 一 一 1 1 第一页为信息页 第一行 论文所属学科 分语文 数学 物理 化学 英语 历史 地理 政治 生物 艺体 管理及综合 第二行 论文题目 第三行 单位 第四行 姓名 第二页起为论文部分 除第一页外 其他地方不得出现作者单位和姓 名 否则视同格式不符不予评审 三 参评办法 1 为方便广大教师将论文结果写进个人年终考核 论文评审将在 6 月上旬结束 各单位务 必在 5 月 30 日前将参评论文 纸质文稿一份和电子稿 和评审费送交我会 2 各县市区论文送本县市区教育局人事股或师训股 然后集中送评 每县市区不少于 300 篇 株洲市中小学教师继续教育研究基地学校 株洲市中小学教师继续教育研究会理事学校 可由单位统一送评 不少于 30 篇 各单位送交论文时须打印送评论文登记表一式两份 分学 科打印 盖好公章 并交电子文稿 excel 格式 地址 株洲市教师培训中心办公楼五楼 不接受个人送评论文 登记表样式见附件 3 每篇参评论文市级评审费 40 元 评审费由我会财务室收取 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 基础训练基础训练 1 化简 1 2 3 72 22 2524 6 12 18 4 5 32 75 0 0 x yxy 420 2 08 安徽 化简 2 4 3 08 武汉 计算的结果是4 2 2 2 4 4 化简 1 08 泰安 的结果是 2 的结果是 9123 3 08 宁夏 4 08 黄冈 5 2 825 xx 5 08 宜昌 5 6 33 7 08 荆门 8 5 08 重庆 计算的结果是28 A 6 B C 2 D 62 6 08 广州 的倒数是 3 7 08 聊城 下列计算正确的是 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 A B C D 8 下列运算正确的是 A B C D 4 06 1 5 15 1 2 39 3 2 9 4 9 08 中山 已知等边三角形 ABC 的边长为33 则 ABC 的周长是 10 比较大小 10 11 08 嘉兴 使有意义的的取值范围是 2x x 12 08 常州 若式子在实数范围内有意义 则 x 的取值范围是5x A x 5 B x 5 C x 5 D x 5 13 08 黑龙江 函数中 自变量的取值范围是 14 下列二次根式中 的取值范围是 2 的是xx A B C D 2 xx 2x 2 15 08 荆州 下列根式中属最简二次根式的是 A B C D 2 1a 1 2 827 16 08 中山 下列根式中不是最简二次根式的是 A B C D 10862 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 17 08 常德 下列各式中与是同类二次根式的是 A 2 B C D 18 下列各组二次根式中是同类二次根式的是 A B C D 2 1 12与2718与 3 1 3与 5445与 19 08 乐山 已知二次根式与是同类二次根式 则的 值可以是 A 5 B 6 C 7 D 8 20 08 大连 若baybax 则 xy 的值为 A a2 B b2 C ba D ba 21 08 遵义 若 则 230ab 2 ab 22 08 遵义 如图 在数轴上表示实数的点可能是15 A 点 B 点C 点 D 点PQMN 23 计算 1 2 3 08 上海 4 08 庆阳 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 5 2712 4 1 48 24 先将 化简 然后自选一个合适的 x 值 代入化简后的式子求 2 2 x x 32 2 x xx 值 25 08 济宁 若 则的取值范围是 A B C D 26 08 济宁 如图 数轴上两点表示的数分别为 1 和 点关于点的对 称点为点 则点所表示的数是 A B C D 学学教教案案 一一元元二二次次方方程程根根与与系系数数的的关关系系 一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的 教材通过一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 x1 2 得出一元二次方程根与系数的关系 以及以数 x1 x2为根的一元二次方程的求方程模型 然后是通过 4 个例题介绍了利用 根与系数的关系简化一些计算的知识 例如 求方程中的特定系数 求含有方程根的 一些代数式的值等问题 由方程的根确定方程的系数的方法等等 根与系数的关系也称为韦达定理 韦达是法国数学家 韦达定理是初中代数中的一个重要定理 这 是因为通过韦达定理的学习 把一元二次方程的研究推向了高级阶段 运用韦达定理可以进一步研究数学 中的许多问题 如二次三项式的因式分解 解二元二次方程组 韦达定理对后面函数的学习研究也是作用 非凡 通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出 韦达定理及其应用是各地市中考数学 命题的热点之一 出现的题型有选择题 填空题和解答题 有的将其与三角函数 几 何 二次函数等内容综合起来 形成难度系数较大的压轴题 通过韦达定理的教学 可以培养学生的创新意识 创新精神和综合分析数学问题的 能力 也为学生今后学习方程理论打下基础 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 二 重点 难点 二 重点 难点 一元二次方程根与系数的关系是重点 让学生从具体方程的根发现一元二次方程根 与系数之间的关系 并用语言表述 以及由一个已知方程求作新方程 使新方程的根 与已知的方程的根有某种关系 比较抽象 学生真正掌握有一定的难度 是教学的难 点 三 教学目标 三 教学目标 1 知识目标 要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式 能运用 根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数 会 求一元二次方程两个根的倒数和与平方数 两根之差 2 能力目标 通过韦达定理的教学过程 使学生经历观察 实验 猜想 证明等数学 活动过程 发展推理能力 能有条理地 清晰地阐述自己的观点 进一步 培养学生的创新意识和创新精神 3 情感目标 通过情境教学过程 激发学生的求知欲望 培养学生积极学习数学的态 度 体验数学活动中充满着探索与创造 体验数学活动中的成功感 建立 自信心 二 设计理念 根据教材内容和本人研究的课题 初中数学问题引探教学实验研究 在教学中渗 透新课标的精神 注重过程数学 注重创新教学 注重问题意识 关注学生的学习兴 趣和经验 让学生主动参与学习活动 主动探索并获取知识 教师是组织者 引导者 参与者 三 教法与学法 一 教法 1 充分以学生为主体进行教学 让学生多实践 从实践中反思过程 让学生经历韦 达定理的发生发展过程 并从中体验成功的乐趣 2 采用 实践 练习 观察 发现 猜想 证明 的过程教学 引导学生 发现问题 师生共同解决问题 3 分小组讨论交流 多渠道信息反馈 4 问题引探 启发诱导 进行创新教学 二 学法指导 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 1 引导学生实践 观察 发现问题 猜想并推理 2 指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径 3 指导学生熟练掌握根与系数的关系 并将应用问题和规律归类 四 课时划分及教学过程 一 课时划分 一 课时划分 共分 3 课时 第一课时 1 根与系数的关系 2 根与系数的关系的应用 1 求已知方程的两根的平方和 倒数和 两根差 第二课时 1 已知两数求作新方程 2 由已知两根和与积的值或式子 求字母的值 第三课时 方程判别式 根与系数的关系的综合应用 第一课时第一课时 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系 1 一 教学目标一 教学目标 1 理解掌握一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根 x1 x2与系数 a b c 之间的关系 2 能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下 求出方程的另一根 以及方程中 的未知数 3 会求已知方程的两根的倒数和与平方和 两根的差 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 4 在推导过程中 培养学生 观察 发现 猜想 证明 的研究问题的思想与方 法 二 重难点二 重难点 根与系数的关系是重点 由于式子的抽象性 两根之和等于一次项系数除以二次项系 数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点 三 教学过程三 教学过程 一 问题引探 一 问题引探 问题 1 在方程 ax2 bx c 0 中 a 的取值决定什么 b2 4ac 的取值呢 同学们可知 道 a b c 的取值与一元二次方程 ax2 bx c 0 的根还有其它关系 今天我们进一步研 究一元二次方程的这种关系 问题 2 解方程 x2 5x 6 0 并先指出 a b c 各是多少 然后再解方程 计算两根 的和与积 你能发现什么结论 现象 问题 3 解下列方程 1 2x2 5x 3 0 2 3x2 2x 2 0 并根据问题 2 和以上的求解填写下表 请观察上表 你能发现两根之和 两根之积与方程的系数之间有什么关系吗 问题 4 请根据以上的观察发现进一步猜想 方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 x1 x2 与 a b c 之间的关系 问题 5 你能证明上面的猜想吗 请证明 并用文字语言叙述说明 分小组讨论以上的问题 并作出推理证明 若方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 x2 则 x1 x2 x1 x2 即 如果 ax2 bx c 0 a 0 的两根是 x1 x2 那么 x1 x2 x1x2 由此得出一元二次方程的根与系数的关系 还可以让学生用自己的语言表述这种关 系 来加深理解和记忆 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 这个关系是一个法国数学家韦达发现的 所以也称之为韦达定理 问题 6 在方程 ax2 bx c 0 a 0 中 a b c 的作用吗 引导学生反思性小结 二次项系数 a 是否为零 决定着方程是否为二次方程 当 a 0 时 b 0 a c 异号 方程两根互为相反数 当 a 0 时 b2 4ac 可判定根的情况 当 a 0 b2 4ac 0 时 x1 x2 x1x2 当 a 0 c 0 时 方程有一根为 0 说明 1 本设计采用 实践 观察 发现 猜想 证明 的过程 使学生既动 手又动脑 且又动口 教师引导启发 避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关 系 体现学生的主体学习特性 培养了学生的创新意识和创新精神 2 本设计遵循由特殊到一般 从实践到理论 即从感性认识上升到理性认识 的认知规律 3 本设计注重了学生的反思过程 使学生将知识系统化 格式化 二 尝试发展 二 尝试发展 试一试 根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积 方程两根为 x1 x2 k 是常数 1 2x2 3x 1 0 x1 x2 x1x2 2 3x2 5x 0 x1 x2 x1x2 3 5x2 x 2 0 x1 x2 x1x2 4 5x2 kx 6 0 x1 x2 x1x2 此试一试作为巩固知识而用 尝试题 1 已知方程 6x2 kx 5 0 的一个根为 求它的另一个根及 k 的值 组织学生自己分析解决 然后一学生演板 其余学生在草稿本上练习 学生练习 P32 2 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 尝试题 2 利用根与系数的关系 求一元二次方程 2x2 3x 1 0 的两个根的 1 平方和 2 倒数和 讨论 解上面问题的思路是什么 得出 x12 x22 x1 x2 2 2 x1x2 将平方和 倒数和转化为两根和与积的代数式 三 拓展创新 三 拓展创新 1 在尝试 2 中能否求 x1 x2 的值 2 已知实数满足关系式 a2 5a 6 0 b2 5b 6 0 且 a b 能否求 a b 与 ab 的值 说明 1 试一试 是引导学生及时巩固本节所学的新知 根与系数的关系 其中第 3 小题是培养学生思维严谨性和批判性 第 4 小题是起过渡作用设计 2 尝试题 1 2 让学生讨论完成或独立完成 可以看书完成 其系数与例题有别 3 拓展创新 中是培养学生思维的发散性教学设计 也是开放性教学 使有的学生的 奇异思维得到发展 四 归纳小结 四 归纳小结本课主要研究了什么 1 方程的根是由系数决定的 2 a 0 时 方 程 ax2 bx c 0 是一元二次方程 3 a 0 且 b2 4ac 0 时 方程 ax2 bx c 0 的根为 x1 2 4 b2 4ac 的值可判定根的情况 5 a 0 0 时 x1 x2 x1x2 6 方 程根与系数关系的有关应用 1 已知一根求另一根及 k 的值 2 求有关代数式的值 五 布置作业 P33A 1 2 B 1 1 练习 练习 已知三角形的两边长 a b 是方程 x2 kx 12 0 的两个 等腰三角形的另一 条边 c 4 求这个等腰三角形的周长 2 已知关于 x 的方程 x2 2mx m2 0 其中分别是一个等腰三角形的腰和底边的 长 1 求征这个方程有两个不相等实数根 2 若方程的两个实数根差的绝对值是 8 并且等腰三角形的面积是 12 求这个三角形的内切圆的面积 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 教学目标 1 掌握一元二次方程根与系数的关系式 能运用它由已知一元二次方程的一个根 求出另一个根与未知系数 2 通过根与系数的教学 进一步培养学生分析 观察 归纳的能力和推理论证的 能力 3 通过本节课的教学 向学生渗透由特殊到一般 再由一般到特殊的认识事物的 规律 教学重点和难点 二 重点 难点 疑点及解决办法 1 教学重点 根与系数的关系及其推导 2 教学难点 正确理解根与系数的关系 3 教学疑点 一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和 两根的 积与系数的关系 4 解决办法 在实数范围内运用韦达定理 必须注意这个前提条件 而应 用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程 即二次项系数 因此 解题 时 要根据题目分析题中有没有隐含条件和 三 教学步骤 一 教学过程 1 复习提问 1 写出一元二次方程的一般式和求根公式 2 解方程 观察 思考两根和 两根积与系数的关系 在教师的引导和点拨下 由沉重得出结论 教师提问 所有的一元二次方程的两 个根都有这样的规律吗 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 2 推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系 设是方程的两个根 以上一名学生板书 其他学生在练习本上推导 由此得出 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程两根和与两根积与 系数的关系 结论 1 如果的两个根是 那么 如果把方程变形为 我们就可把它写成 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 的形式 其中 从而得出 结论 2 如果方程的两个根是 那么 结论 1 具有一般形式 结论 2 有时给研究问题带来方便 练习 1 口答 下列方程中 两根的和与两根的积各是多少 1 2 3 4 5 6 此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系 元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 安徽省利辛县教育局督导室 夏 飞 对于一元二次方程 当判别式 时 其求根公式为 若两根为 当 0 时 则两根的 关系为 根与系数的这种关系又称为韦达定理 它的 逆定理也是成立的 即当 时 那么则是 的两根 一元二次方程的根与系数的关系 综合性强 应 用极为广泛 在中学数学中占有极重要的地位 也是数学学习中的重点 学习 中 老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外 还常常要求同学 们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种 情况 以及应用求根公式求出方程的两个根 进而 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 分解因式 即 下面就对应用韦达定理可能出现的 问题举例做些分析 希望能给同学们带来小小的帮助 一 根据判别式 讨论一元二次方程的根 一 根据判别式 讨论一元二次方程的根 例例 1 1 已知关于的方程 1 有两个不相等的实数 根 且关于的方程 2 没有实数根 问取什么整数时 方程 1 有整数解 分析分析 在同时满足方程 1 2 条件的的取值范围中筛选符合条件 的的整数值 解解 方程 1 有两个不相等的实数根 解得 方程 2 没有实数根 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 解得 于是 同时满足方程 1 2 条件的的取值范围是 其中 的整数值有或 当时 方程 1 为 无整数根 当时 方程 1 为 有整数根 解得 所以 使方程 1 有整数根的的整数值是 说明 说明 熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础 正确确定 的取值范围 并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理 从而筛 选出 这也正是解答本题的基本技巧 二 判别一元二次方程两根的符号 二 判别一元二次方程两根的符号 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 例例 1 1 不解方程 判别方程两根的符号 分析 分析 对于来说 往往二次项系数 一次项系数 常 数项皆为已知 可据此求出根的判别式 但 只能用于判定根的存在与否 若判定根的正负 则需要确定 或的正负情况 因此解答此题的关键 是 既要求出判别式的值 又要确定 或的正负情况 解 解 4 2 7 65 0 方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根为 0 原方程有两个异号的实数根 说明 说明 判别根的符号 需要把 根的判别式 和 根与系数的关系 结 合起来进行确定 另外由于本题中 0 所以可判定方程的根为一正一负 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 倘若 0 仍需考虑的正负 方可判别方程是两个正根还是两个负根 三 已知一元二次方程的一个根 求出另一个根以及字母系数的值 三 已知一元二次方程的一个根 求出另一个根以及字母系数的值 例例 2 2 已知方程的一个根为 2 求另一个根及的 值 分析 分析 此题通常有两种解法 一是根据方程根的定义 把代入原方程 先求出的值 再通过解方程办法求出另一个根 二是利用一元二次方程的根 与系数的关系求出另一个根及的值 解法一 解法一 把代入原方程 得 即 解得 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 当时 原方程均可化为 解得 方程的另一个根为 4 的值为 3 或 1 解法二 解法二 设方程的另一个根为 根据题意 利用韦达定理得 把代入 可得 把代入 可得 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 即 解得 方程的另一个根为 4 的值为 3 或 1 说明 比较起来 解法二应用了韦达定理 解答起来较为简单 例例 3 3 已知方程有两个实数根 且两个根的平方 和比两根的积大 21 求的值 分析 分析 本题若利用转化的思想 将等量关系 两个根的平方和比两根的积 大 21 转化为关于的方程 即可求得的值 解 解 方程有两个实数根 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 解这个不等式 得 0 设方程两根为 则 整理得 解得 又 说明 当说明 当求出后 还需注意隐含条件 应舍去不合 题意的 四 运用判别式及根与系数的关系解题 四 运用判别式及根与系数的关系解题 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 例例 5 5 已知 是关于的一元二次方程的两个 非零实数根 问和能否同号 若能同号 请求出相应的的取值范围 若 不能同号 请说明理由 解解 因为关于的一元二次方程有两个非零实数根 则有 又 是方程的两个实数根 所以由一元二次 方程根与系数的关系 可得 假设 同号 则有两种可能 1 2 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 若 则有 即有 解这个不等式组 得 时方程才有实树根 此种情况不成立 若 则有 即有 解这个不等式组 得 又 当时 两根能同号 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 说明 说明 一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数 的内在联系 是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具 也是计算有 关一元二次方程根的计算问题的重要工具 知识的运用方法灵活多样 是设计 考察创新能力试题的良好载体 在中考中与此有联系的试题出现频率很高 应 是同学们重点练习的内容 六 运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题 六 运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题 例 例 已知 是方程的两个实数根 求的值 分析 分析 本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题 应摒弃常规的求 根后 再带入的方法 力求简解 解法一 解法一 由于是方程的实数根 所以 设 与相加 得 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 变形目的是构造和 根据根与系数的关系 有 于是 得 0 解法二 解法二 由于 是方程的实数根 说明 说明 既要熟悉问题的常规解法 也要随时想到特殊的简捷解法 是解题 能力提高的重要标志 是努力的方向 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 有关一元二次方程根的计算问题 当根是无理数时 运算将十分繁琐 这 时 如果方程的系数是有理数 利用根与系数的关系解题可起到化难为易 化 繁为简的作用 这类问题在解法上灵活多变 式子的变形具有创造性 重在考 查能力 多年来一直受到命题老师的青睐 七 运用一元二次方程根的意义及判别式解题 七 运用一元二次方程根的意义及判别式解题 例例 8 8 已知两方程和至少有一 个相同的实数根 求这两个方程的四个实数根的乘积 分析 分析 当设两方程的相同根为时 根据根的意义 可以构成关于和 的二元方程组 得解后再由根与系数的关系求值 解 解 设两方程的相同根为 根据根的意义 有 两式相减 得 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 当时 方程的判别式 方程无实数解 当时 有实数解 代入原方程 得 所以 于是 两方程至少有一个相同的实数根 4 个实数根的相乘积为 说明 说明 1 本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用 常常 除了犯有默认的错误 甚至还会得出并不存在的解 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 当时 两方程相同 方程的另一根也相同 所以 4 个根 的相乘积为 2 既然本题是讨论一元二次方程的实根问题 就应首先确定方程有实根 的条件 且 另外还应注意 求得的的值必须满足这两个不等式才有意义 趁热打铁趁热打铁 一 填空题 一 填空题 1 如果关于的方程的两根之差为 2 那么 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 2 已知关于的一元二次方程两根互为倒数 则 3 已知关于的方程的两根为 且 则 4 已知是方程的两个根 那么 5 已知关于的一元二次方程的两根为和 且 则 6 如果关于的一元二次方程的一个根是 那么另 一个根是 的值为 7 已知是的一根 则另一根为 的值为 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 8 一个一元二次方程的两个根是和 那么这个一元二次方程 为 二 求值题 二 求值题 1 已知是方程的两个根 利用根与系数的关系 求 的值 2 已知是方程的两个根 利用根与系数的关系 求 的值 3 已知是方程的两个根 利用根与系数的关系 求 的值 4 已知两数的和等于 6 这两数的积是 4 求这两数 5 已知关于 x 的方程的两根满足关系式 求的值及方程的两个根 6 已知方程和有一个相同的根 求的 值及这个相同的根 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 三 能力提升题 三 能力提升题 1 实数在什么范围取值时 方程有正的实数根