湖南师大附中2010届高三第二次月考试卷.doc

湖南师大附中2010届高三第二次月考试卷数 学（文科）命题：肖 强 贺中良 曾克平 肖 婕 审题：朱海棠 邓 云 严勇华 洪利民 贺祝华本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则复数z的虚部是 （ B ）A. B.1 C. D. 1【解】因为=，所以复数z的虚部是1，故选B.2.在等比数列an中，已知a3，a98，则a5a6a7的值为 （ A ）A8B8C 8D64【解】因为an为等比数列，则a62a5a7a3a94，所以a6=2，a5a6a78，故选A.3.“函数为奇函数”是“”的 （ D ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【解】为奇函数，但不存在；对函数，有，但为偶函数，故选D.4.某单因素单峰试验的因素范围是10，110，用黄金分割法来确定试点，则第一个试点的值是（ C ）A. 16.18 B. 55.62 C. 71.8 D. 61.8【解】据黄金分割法原理，故选C.5.函数的单调递减区间是 （ D ）A. B. C. D.【解】.ABCA1B1C1M由，得，故选D.6.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点M为侧棱AA1上一动点，已知BCM面积的最大值是，二面角MBCA的最大值是，则该三棱柱的体积等于 （ A ）A. B. C. D. 【解】当点M与点A1重合时，BCM的面积为最大值，此时二面角MBCA也为最大.由已知可得，所以底面正三角形ABC 的边长为2，高为，从而正三棱柱的高AA1.所以正三棱柱的体积，故选A.7.已知曲线C的参数方程是(为参数)，则曲线C上的点P到定点M(2，0)的最大距离是 （ C ）A.9 B. 8 C. 7 D. 6【解】解法一：因为，所以当时，故选C. 解法二：将曲线C的参数方程化为普通方程，得，它表示焦点在x轴上的椭圆.由椭圆的几何性质可知，当点P位于椭圆的右顶点时，|PM|为最大，且最大值为527，故选C.8.已知定义在R上的函数满足：对任意xR，都有成立，且当时，(其中为的导数).设，则a，b，c三者的大小关系是 （ B ）A. B. C. D. 【解】由可得，函数的图象关于直线对称，所以又当时，即，则在上单调递增所以即，故选B.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9.设全集U0，1，2，3，4，集合A0，a，B3，4，若，则a的值为 4 . 【解】显然，检验知，只有当a4时才符合条件.10.博才实验中学共有学生1600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是760人【解】设该校女生人数为，则男生人数为由已知，解得故该校的女生人数是760人11.不等式的解集是.【解】由.所以，故不等式的解集是.12.已知向量a，b满足|a|b|1，且|ab|ab|，则向量a与b的夹角是 60 .【解】由已知，(ab)23(ab)2，即a22abb23(a22abb2).因为|a|b|1，则a2b21，所以22ab3(22ab)，即ab.设向量a与b的夹角为，则|a|b|cos，即cos，故60.13. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性作回归分析，分别求得相关系数r与残差平方和如下表： 甲乙丙丁r0.820.780.690.85106115124103 则这四位同学中，其中丁同学的分析结果体现出A，B两变量具有更强的线性相关性【解】因为越小表明回归方程预报精度越高，|r|越大表明线性相关性越强由表可知，应填丁同学14.已知圆C经过点A(2，1)，圆心在直线2xy0上，且与直线xy1相切，则圆C的标准方程是.【解】因为圆心C在直线2xy0上，可设圆心为C（a，2a）.则点C到直线xy1的距离. 据题意，则，解得.所以圆心为C（1，2），半径，故所求圆的方程是15.某计算装置有一个数据入口A和一个运算出口B，从入口A输入一个正整数n时，计算机通过循环运算，在出口B输出一个运算结果，记为f(n).计算机的工作原理如下：为默认值，f(n1)的值通过执行循环体“f(n1)”后计算得出.则f(2)；当从入口A输入的正整数n_12_时，从出口B输出的运算结果是. 【解】由题设，f(n1)，所以f(2).设从A口输入的最后一个正整数为n，因为，则.令4n21575，则n2144，即n12.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)在中，已知.() 求的值；() 若，求的面积.【解】（）因为sin（，由已知，. （2分）因为角A是ABC内角，且cosA0，则角A是锐角.所以. （4分）故. （6分）()因为，B为三角形的内角，所以. （7分）于是. （9分）因为c10，由正弦定理，得. （11分）故. （12分）17.(本小题满分12分)35.5 37.5 39.5 41.5 43.5 45.5 月均用电量频率组距0.03750.0875某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的月均用电量(单位：kw/h)，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下，其中直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为123，试估计：（）该乡镇月均用电量在39.543.5内的居民所占百分比约是多少？（）该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少？（精确到0.01）【解】（）设直方图从左到右前3个小矩形的面积分别为P，2P，3P.由直方图可知，最后两个小矩形的面积之和为(0.08750.0375)20.25. （2分）因为直方图中各小矩形的面积之和为1，所以P2P3P0.75，即P0.125. （4分）所以3P0.087520.55.由此估计，该乡镇居民月均用电量在39.543.5内的居民所占百分比约是55%. （6分）（）显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内，且该矩形在面积平分线左侧部分的面积为0.5P2P0.50.3750.125， （8分）设样本数据的中位数为39.5x.因为正中间一个矩形的面积为3P0.375，所以x2=0.1250.375，即x0.67.（10分）从而39.5x40.17， 由此估计，该乡镇居民月均用电量的中位数约是40.17(kw/h).（12分）18.(本小题满分12分)AC1A1B1ECBD如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1，AC2，BC，D，E分别是AC1和BB1的中点.（）证明：DE平面ABC； （）求直线DE与平面BB1C1C所成的角.【解】（）取AC的中点F，连结DF，BF.则FDCC1，且. （2分）因为BB1CC1，E是BB1的中点,AC1A1B1ECBDFM所以BECC1，且. （4分）于是FDBE，且FDBE，所以四边形BEDF是平行四边形，从而DEFB. （5分）又，故DE平面ABC. （6分）（）连结BC1，取BC1的中点M，连结DM，EM.因为D为AC1的中点，所以DMAB. （7分）由AB1，AC2，BC，可知ABBC.又ABBB1，所以AB面BB1C1C. （9分）从而DM面B1C1CB，故DEM为直线DE与平面BB1C1C所成的角. （10分）在RtDME中，EM，所以.故DEM30，即直线DE与平面BB1C1C所成的角为30. （12分）19.(本小题满分13分)某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元.设余下工程的总费用为万元.（）试将表示成关于的函数； （）需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少万元？【解】（I）设需要修建个增压站，则，即. （2分）所以.（5分）因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0x240. （6分）故y与x的函数关系是. （7分）（II）. （10分）当且仅当 即 时取等号.此时，. （12分）故需要修建11个增压站才能使最小，其最小值为9440万元. （13分）20.(本小题满分13分)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点（）若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；（）若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由【解】() 设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为. （2分）由已知，即，故抛物线C的方程是 （4分）()设圆心()，点A，B. （5分）因为圆过点P(2，0)，则可设圆M的方程为. （6分）令，得. （7分）则，. （8分）所以. （9分）设抛物线C的方程为，因为圆心M在抛物线C上，则. （10分）所以. （11分）由此可得，当时，为定值 （12分）故存在一条抛物线，使|AB|为定值4. （13分）21.(本小题满分13分)设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是和的等差中项（）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（）证明；（）设集合，且，若存在M，使对满足 的一切正整数，不等式恒成立，求这样的