三次函数性态的五个要点.doc

三次函数性态的五个要点邳州市岔河高级中学 解 俊 三次函数的一般形式为y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a0,a、b、c、dR) ，近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等函数性态，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念，本文结合相关试题阐述三次函数性态的要点。要点1.三次函数y=f(x)在(-,+)上的极值点的个数简析：若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)f(x) (或f(x0)f(x)，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。据此有结论：三次函数y=f(x)在(-,+)上的极值点要么有两个，要么不存在极值点。论证如下：令f（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0的实根。当=4b2-12ac0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x1、x2，则x1、x2是f（x）在(-,+)上的两个极值点；当=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-,+)上单调增，此时y=f（x）没有极值点； x (-,x0) x0（x0，+) f/（x） + 0 + f(x) 当=4b2-12ac0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。试题链接：错解剖析例1.（2004年湖北高考文考卷）已知b-1，c0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切，（）求b与c的关系式（用c表示b）；（）设函数F（x）=f（x）.g（x）在(-,+)内有极值点，求c的取值范围。解：（）依题意，函数f（x）=x+b的斜率为1，g（x）=1，得2x+b=1，故x=（1-b）/2为切点的横坐标，将x=（1-b）/2分别代入f（x）、g（x）的函数解析式，得 f（1-b）/2=g（1-b）/2，化简为（b+1）2=4cb-1，c0，b=-1+2c1/2 （）F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，F（x）=3x2+4bx+b2+c=0，令3x2+4bx+b2+c=0，=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c），当=0时，则F（x）=0有两个等根x0；当0时，F（x）=0有两个不等的实根x1、x2（ 设x1x2），综上所述，当且仅当0时，函数F（x）在(-,+)上有极值点。由=4（b2-3c）0得b- 3c或b3c。b=-1+2c，-1+2c3c或-1+2c3c，解之得0c7-431/2或c7+431/2，故所求c的范围是（0，7-431/2 7+431/2，+）点评：第一小问解的好，但第二小问的解答却出了一点错误，错因剖析如下：把函数有极值的问题转化为一元二次方程F/（x）= 3x2+4bx+b2+c=0有实根，即0。忽略了极值存在必须检验F（x）的符号这一重要细节，若=0，则F（x）=0有一对等根x0，F/（x）的取值符号如下表：x (-,x0) x0（x0，+) F/（x） + 0 + F(x) 可知x=x0不是函数F(x)的极值点。（）正确解法如下：F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc， 令F（x）=3x2+4bx+b2+c=0当=16b2-12(b2+c)0时， F（x）=0有两个不等的实根x1、x2（ 令x1x2），F（x）的取值变化如下表： x(-,x1)x1（x1，x2）x1（x1，+)F/（x） + 0 - 0 +F（x） x=x1是函数F(x)的极大值点，x=x2是它的极小值点。 由=4（b2-3c）0得b- 3c或b3c，b=-1+2c代入得0c或c。 .当=0时， F/（x）=0有一对等根x0，F/（x）的取值规律如下表：x (-,x0) x0（x0，+) F/（x） + 0 + F(x) 函数F(x)此时不存在极值点。综上所述可知，当且仅当 0时，F（x）在(-,+)上有极值点，c的取值范围是（0，）（，+）点评与反思：洞察极值存在的细节，是成功解好本题的关键。 要点2.三次函数y=f（x）的图象与x 轴交点个数交点个数的本质是多项式ax3+bx2+cx+d在实数集上怎样进行因式分解，记ax3+bx2+cx+d=a（x-x1）（x-x2）（x-x3），（）若x1x2x3，则交点为3个；（）若x1、x2、x3中有两个相等，不妨x1=x2x3，则交点为2个。（）若x1=x2=x3，则交点为1个；（）若f（x）=a（x-x0）（x2+dx+e），且 有d2-4e0，y=f（x）的图象与x轴只有一个交点。试题链接例2.（2000年春季高考题）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ ） A .b（-，0） B.b（0，1）C .b（1，2） D. b（2，+）略解：设f（x）=a（x-1）（x-2）=a（x3-3x2+2x）b=-3a，c=2a，d=0 ，又a0，b0,选（A ） 再看一题：如图，函数yf（x）的图象如下，则函数f（x）的解析式可以为（）f（x）（xa）2（bx）f（x）（xa）2（xb）f（x）（xa）2（xb）f（x）（xb）2（xa）不难知，选（A）又如运用“序轴法”解一元三次不等式x（x-1）（x-2）0，易知x的范围是：（0，1）（2，+），我们都要先得出三次函数的图象与x轴的交点。要点3.单调性问题试题链接例3.函数f（x）=x3/3+ax2/2+ax-2 （a）在(-,+)上为单调增函数，求实数a的取值范围。错解：令f（x）=x2+ax+a0在(-,+)上恒成立=a2-4a0得0a4错因剖析：当f（x）0时，f（x）为增函数，但反之未必为真。举一反例：函数f（x）=x3是实数集R上的增函数，但f（0）=3x2x=0=0。 回过来看例3，=a2-4a0，得a0，4为它的解。说明1：设f（x）在区间D上可导，则f（x）在区间D上递增（或递减）的充要条件是：f（x）0 （或f（x）0）注释说明2：在本例题中，当a=0时，f（x）=x3显然在R 上单调增；当a=4时，f（x）x/3xx-（xxx-）/3+2/3（x）/3+2/3不难知函数yx/3的图象按向量a=（，）平移就可得到y=f（x）的图象。可见a=0、a=4也是解。例4.已知函数f（x）x/3（m）x（mm）x在实数集上是增函数，求实数m的取值范围。解：yf（x）在上是单调增函数f（x）x（m）xmm在上恒成立，= =mm得m小结：三次函数y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a0,a、b、c、dR)为R上的增函数，图象可分为两种形式：其一是由yax的图象平移而得；其二是由函数yax（x2sxt）（a，s,t且t，s23t）的图象平移而得。附注：yax（x2sxt）ax3asxatx yaxasxat0在R上恒成立，0，得s2t。而x2sxt0在R上恒成立，得s2t。s2t比s2t更进一步。这也就是为什么附属条件不是s2t而是s2t的原因。要点.三次函数f（x）图象的切线条数试题链接例5.已知曲线yx3/34/3，求曲线在点（，）处的切线方程解：f（x）x2，f（），曲线在点（，）处的切线斜率为kf（）代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y（x），即yx变式：已知曲线yx3/34/3，则曲线过点（，）的切线方程。错解：依上题，直接填上答案xy错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。 点（，）在曲线yx3/34/3上，它可以是切点也可以不是。正确解法：设过点（，）的切线对应的切点为（x0，x03/34/3），斜率为k=x02，切线方程为y -（x03/34/3 ）=x02（x-x0）即y=x02x- 2x03/3+4/3 点（2，4）的坐标代入，得4=2x02- 2x03/3+ 4/3， 2 x03-6 x02+8=0 ， x03-3x02+4=0， 又x03+1-（3x02-3）=0（x0+1）（x02-x0+1）-3（x0-1）（x0+1）=0（x0+1）（x02-4x0+4）=0 x0=-1或x0=2切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0点评：一个是“在点（2，4）”、一个是“过点（2，4）”，一字之差所得结果截然不同。要点5.融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围. 试题链接：例6.已知函数f（x）= x3/3+ ax2/2+ax-2（a），设A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）是函数f（x）的两个极值点，若直线AB的斜率不小于- 5/6 ，求实数a的取值范围。解：kAB=f（x1）-f（x2）/（x1-x2）=（x13-x23）/3+a（x12-x22）/2+a（x1-x2）/（x1-x2）=（x12+x1x2+x22）/3+a（x1+x2）/2+a-5/6在实数集上恒成立。x12/3+（x2/3+a/2）x1+x22/3+ax2/2+a+5/60在实数集上恒成立，2x12+（2x2+3a）x1+2x22+3ax2+6a+50=4x22+12ax2+9a2-8（2x22+3ax2+6a+5）=-12x22-12ax2+9a2-48a-400在实数集上恒成立，即12x22+12ax2-9a2+48a+400在实数集上恒成立，=144a2-48（-9a2+48a+40）0，得实数a的取值范围是2-661/2/3a2+661/2/3。类似的试题再来一道：例7.已知函数f（x）=-x3+ax2+b，（a，bR）图象上任意两点的连线斜率小于1，求证：a23。证明：对任意x1，x2R，k=f（x1）-f（x2）/（x1-x2）=-x12+x1x2