（江苏专用）高考数学二轮复习 （热点命题探究）专题3新颖题型学案.doc

专题3新_颖_题_型这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.可以较好地考查学生的学习能力、阅读理解能力、数学思维能力等.由于突出体现了“考思维能力与创新意识”这一特色，所以，在近几年的高考中，备受命题者的青睐.1在r上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则实数a的取值范围是_解析：(xa)(xa)(xa)(1xa)，不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则(xa)(1xa)0对任意实数x成立，所以14(a2a1)0，解得a.答案：2已知n次多项式pn(x)a0xna1xn1an1xan，如果在一种算法中，规定计算x(k2,3,4，n)的值需要k1次乘法，那么计算p3(x0)的值共需要_次运算，计算pn(x0)的值共需要_次运算解析：由题意知道x的值需要k1次运算，即进行k1次x0的乘法运算可得到x的结果，对于p3(x0)a0xa1xa2x0a3，a0xa0x0x0x0进行了3次运算，a1xa1x0x0进行了2次运算，a2x0进行1次运算，最后a0x，a1x，a2x0，a3之间的加法运算进行了3次，这样p3(x0)总共进行了32139次运算对于pn(x0)a0xa1xan总共进行了nn1n21次乘法运算及n次加法运算所以共进行了n次运算答案：93设u(n)表示正整数n的个位数，anu(n2)u(n)，则数列an的前2 012项和等于_解析：注意到当nn*时，(n10)2的个位数与n2的个位数相同，n10的个位数与n的个位数也相同，因此有a10nan，即数列an中的项是以10为周期重复性地出现，且该数列的前10项依次是0、2、6、2、0、0、2、4、8、0，前10项的和等于0.注意到2 012102012，因此该数列的前2 012项和等于2010(a1a2)2.答案：24在平面直角坐标系xoy中，设点p(x1，y1)、q(x2，y2)，定义：d(p，q)|x1x2|y1y2|.已知b(1,0)，点m为直线x2y20上的动点，则使d(b，m)取最小值时点m的坐标是_解析：设m(x0，y0)，则d(b，m)|1x0|y0|32y0|y0|当y0时，d(b，m)取最小值，此时点m为.答案：5设v是全体平面向量构成的集合，若映射f：vr满足：对任意向量a(x1，y1)v，b(x2，y2)v，以及任意r，均有f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，则称映射f具有性质p.现给出如下映射f1：vr，f1(m)xy，m(x，y)v；f2：vr，f2(m)x2y，m(x，y)v；f3：vr，f3(m)xy1，m(x，y)v.其中，具有性质p的映射的序号为_(写出所有具有性质p的映射的序号)解析：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a(1)b(x1(1)x2，y1(1)y2)，对f1(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y2f1(a)(1)f(b)故具有性质p；同理具有性质p；不具有性质p.答案：问题1：概念型创新(1)对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)(c，d)，当且仅当ac，bd；运算“”为：(a，b)(c，d)(acbd，bcad)；运算“”为：(a，b)(c，d)(ac，bd)，设p，qr，若(1,2)(p，q)(5,0)，则(1,2)(p，q)_.(2)非空集合g关于运算满足：(1)对任意a，bg，都有abg；(2)存在eg，使得对一切ag，都有aeeaa，则称g关于运算为“融洽集”现给出下列集合和运算：g非负整数，为整数的加法g偶数，为整数的乘法g平面向量，为平面向量的加法g二次三项式，为多项式的加法g虚数，为复数的乘法其中g关于运算为“融洽集”的是_(写出所有“融洽集”的序号)解析(1)由(1,2)(p，q)(5,0)，得解得所以(1,2)(p，q)(1,2)(1，2)(2,0)(2)g非负整数，为整数的加法，满足任意a，bg，都有abg，且令e0，有a00aa，所以符合要求；g偶数，为整数的乘法，若aeaea，则e1g，所以不符合要求；g平面向量，为平面向量的加法，取e0，满足要求，所以符合要求；g二次三项式，为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以不符合要求；g虚数，为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，所以不符合要求，这样g关于运算为“融洽集”的有.答案(1)(2,0)(2)解决新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，把问题转化为熟悉的问题，然后紧扣新定义进行推理论证它能有效地考查考生独立获取信息、加工信息的能力设f(x)是定义在0,1上的函数，若存在x*(0,1)，使得f(x)在0，x*上单调递增，在x*,1上单调递减，则称f(x)为0,1上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间(1)证明：对任意的x1，x2(0,1)，x1x2，若f(x1)f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)f(x2)，则(x1,1)为含峰区间；(2)对给定的r(0r0.5)，证明：存在x1，x2(0,1)，满足x2x12r，使得由(1)所确定的含峰区间的长度不大于0.5r.(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)证明：(1)设x为f(x)的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在0，x上单调递增，在x，1上单调递减当f(x1)f(x2)时，假设x(0，x2)，则x1f(x1)，这与f(x1)f(x2)矛盾，所以x(0，x2)，即(0，x2)是含峰区间当f(x1)f(x2)时，假设x(x1,1)，则xx1f(x2)，这与f(x1)f(x2)矛盾，所以x(x1,1)，即(x1,1)是含峰区间(2)由(1)的结论可知：当f(x1)f(x2)时，含峰区间的长度为l1x2；当f(x1)f(x2)时，含峰区间的长度为l21x1.对于上述两种情况，由题意得由得1x2x112r，即x2x12r.又因为x2x12r，所以x2x12r.将代入得x10.5r，x20.5r.由和解得x10.5r，x20.5r.所以这时含峰区间的长度l1l20.5r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5r.问题2：情境创新题为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a2b,2bc,2c3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为_解析设明文为a，b，c，d，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解得答案6,4,1,7以新知识为背景考查映射的知识本题的本质是一种对应，关键是根据对应法则建立方程组求出a，b，c，d的值将全体正整数排成一个三角形数阵：1第1行23 第2行456 第3行78910 第4行1112131415 第5行按照以上排列的规律，从左向右记第n行的第j个数为f(n，j)，n，jn*，我们称f(n，n)为三角数，且所有的三角数按从小到大的顺序排成的数列称为三角数列，则满足等式f(n，n)f(28,28)59的f(n，n)是三角数列中的第_项解析：观察已知数阵可知f(n1，n1)f(n，n)n1.由题意得，f(n，n)123n.又f(n，n)f(28,28)59，所以59465，所以n30(n31舍去)答案：301概念型创新题特点是首先给出一个定义，然后根据定义提出一系列问题解决此类问题，先要认真理解题目给出的定义，把握定义的实质，在此基础上按定义处理问题2情境创新问题，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体要求认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，并将它抽象成数学(如函数、数列、概率、不等式、三角等)问题，运用相应的数学知识求解1定义集合运算abz|zxy(xy)，za，yb，设集合a0,1，b2,3，则集合ab的所有元素之和为_解析：当x0时，z0，当x1，y2时，z6，当x1，y3时，z12，故所有元素之和为18.答案：182若实数t满足f(t)t，则称t是函数f(x)的一个次不动点设函数f(x)ln x与函数g(x)ex(其中e为自然对数的底数)的所有次不动点之和为m，则m_.解析：在同一直角坐标系中画出函数yln x、yex与yx的图象(如图)，由图可知函数yln x与yx的图象有惟一的交点，设为(t，t)，又函数yex与yx的图象也有惟一的交点，其坐标为(t，t)，所以函数f(x)ln x与g(x)ex的次不动点互为相反数，所以m0.答案：03规定记号“”表示一种运算，即abab，a、br.若1k3，则函数f(x)kx的值域是_解析：由1k3得1k3，解得k1，所以f(x)1x(x0)，f(x)在(0，)内是增函数，故f(x)1，即f(x)的值域为(1，)答案：(1，)4计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字09和字母af共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789abcdef十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示，ed1b，则ab_.解析：a10，b11，又ab101111016614，在16进制中ab6e.答案：6e5设是r上的一个运算，a是r的非空子集，若对任意a，ba有aba，则称a对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是_自然数集；整数集；有理数集；无理数集解析：中121不是自然数，即自然数集不满足条件；中120.5不是整数，即整数集不满足条件；中有理数集满足条件；中2不是无理数，即无理数集不满足条件答案：6设集合ax|x2x2和bx|x|2，其中符号x表示不大于x的最大整数，则ab_.解析：|x|ab|.其中真命题的是_(填序号)解析：如图(1)，题目中定义的“距离”|ab|x1x2|y1y2|，实际上|ab|的几何意义是|ap|pb|.对于命题，如图(2)，当c在线段ab上时，有|ac|表示|ae|ce|，|cb|表示|cd|db|；而|ab|表示|ap|pb|.由图可知|ap|ae|cd|，|pb|ce|db|，|ac|cb|ab|，故正确；对于，如图(3)，不妨令c为原点，a(0,1)，b(2,0)，经验证知|ac|21，|cb|24，|ab|2(21)29，显然不正确；对于也可以取上面的特例情况，|ac|cb|123，|ab|3，故不成立答案：9将函数y(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转(为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为_解析：作出函数y(x0,2)的图象(圆(x1)2(y)24的一部分，落在x轴及其上方)考虑圆(x1)2(y)24在点(0,0)处的切线ykx，由2k，的最大值为切线ykx逆时针旋转到与y轴重合时所转过的角，的最大值为.答案：10在平面直角坐标系中，设三角形abc的顶点分别为a(0，a)，b(b,0)，c(c,0)，点p(0，p)在线段ao上(异于端点)，设a，b，c，p均为非零实数，直线bp，cp分别交ac，ab于点e，f，一同学已正确算得oe的方程：xy0，则of的方程：(_)xy0.解析：画草图，由对称性可猜想填.事实上，由截距式可得直线ab：1，直线cp：1，两式相减得xy0，显然直线ab与cp的交点f满足此方程，又原点o也满足此方程，故为所求直线of的方程答案：11对于函数f1(x)，f2(x)，h(x)，如果存在实数a，b使得h(x)af1(x)bf2(x)，那么称h(x)为f1(x)，f2(x)的生成函数(1)下面给出两组函数，h(x)是否分别为f1(x)，f2(x)的生成函数？并说明理由；第一组：f1(x)sin x，f2(x)cos x，h(x)sin；第二组：f1(x)x2x，f2(x)x2x1，h(x)x2x1；(2)设f1(x)log2x，f2(x)logx，a2，b1，生成函数h(x)若不等式h(4x)th(2x)0)，f2(x)(x0)，取a0，b0，生成函数h(x)图象的最低点坐标为(2,8)若对于任意正实数x1，x2且x1x21.试问是否存在最大的常数m，使h(x1)h(x2)m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由解：(1)设asin xbcos xsin，即asin xbcos xsin xcos x，取a，b，所以h(x)是f1(x)，f2(x)的生成函数设a(x2x)b(x2x1)x2x1，即(ab)x2(ab)xbx2x1，则该方程组无解所以h(x)不是f1(x)，f2(x)的生成函数(2)h(x)2f1(x)f2(x)2log2xlogxlog2x，h(4x)th(2x)0，即log2(4x)tlog22x0，也即(2log2x)t(1log2x)0.因为x2,4，所以1log2x2,3则t1，函数y1在2,4上单调递增，ymax.故t0)，则h(x)ax2.解得所以h(x)2x(x0)假设存在最大的常数m，使h(x1)h(x2)m恒成立于是设uh(x1)h(x2)44x1x2164x1x2164x1x2164x1x232.令tx1x2，则tx1x22，即t.设u4t32，t.设0t10，所以u4t32在t上单调递减，uu289，故存在最大的常数m289.12设f(x)是定义在区间(1，)上的函数，其导函数为f(x)如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x(1，)都有h(x)0，使得f(x)h(x)(x2ax1)，则称函数f(x)具有性质p(a)(1)设函数f(x)ln x(x1)，其中b为实数 ()求证：函数f(x