第二章 理论介绍1.doc

第2章 多体系统动力学及有限元基础理论2.1 多刚体系统动力学理论基础多刚体系统动力学是多体系统动力学的一个分支, 其研究是建立在经典力学理论基础之上的。多刚体系统中的子系统被抽象为刚体, 刚体内部的弹性形变被完全忽略掉, 但各刚体在联结点处的阻尼和弹性等会对系统产生影响.多刚体系统动力学关心的是物体的位置、姿态、运动以及受到的力和力矩, 所涉及的方程包括动力学方程和约束方程, 动力学方程的推导是依据矢量力学方法、分析力学方法以及介于两者之间的 Kane方法，对于矢量力学方法, 应用的基本原理是 DAlembert 原理【16-20】。约束方程是指依据各种约束模型所导出的对物体位置、姿态的限制方程和对约束力的释放方程，列出上述方程需要借助于矢量运算规则、位置和姿态关系及运动学规律。方程中的未知量为位置、姿态、力、力矩等,称为系统的广义坐标。多刚体系统动力学采用的广义坐标有绝对坐标和相对坐标, 对于绝对坐标而言, 参照物为固定于大地上的惯性坐标系, 广义坐标为每个刚体相对该惯性坐标系的位置和欧拉角姿态坐标组成;对于相对坐标而言, 系统中的每个物体都依照相应条件选择合适的动态坐标系, 广义坐标由描述物体变形的弹性坐标和描述物体刚性运动的相应参数坐标组成。多刚体系统动力学求解的方程通常为一个微分-代数方程组, 微分方程即为系统运动的动力学方程, 代数方程即为约束方程 根据多体系统的不同结构,也可能只有微分方程或只有代数方程。对于静力学问题, 因为方程中不涉及加速度, 所以微分方程退化为代数方程；而对于动力学方程而言, 由于涉及到了系统的加速度, 所以需要求解全部的微分-代数方程。【21-23】2.1.1 动力学方程建立方法 20世纪50年代以来科学技术和工业生产的发展，使刚体动力学的研究受到极大的冲击，促使人们不得不面对多刚体系统。随着由大量刚体组成的工程对象的出现，各个刚体部件作不受限制的大位移运动，刚体力学己无法解决这类刚体组合的分析计算问题。加之数字计算机计算能力的飞速增长，从而使对复杂系统进行大规模数字仿真计算的可能性成为现实【24】。为机械、航空、航天、兵器、机器人等领域中大量机械系统的动态性能评估和优化设计提供了强有力的理论工具与技术支撑。多刚体系统产生有两种建模方法，即笛卡尔和拉格朗日方法，后来的完全笛卡尔方法是在笛卡尔法的基础上形成的，主要区别在于刚体位形描述的差异。在多刚体系统动力学的分析研究中，为了精简研究问题的规模，均假设柔性体小变形与系统整体运动是相对独立的。本文中的ADAMS 采用世界上广泛流行的多刚体系统动力学理论中的拉格朗日方程方法，建立系统的动力学方程。它选取系统内每个刚体质心在惯性参考系中的三个直角坐标和确定刚体方位的三个欧拉角作为笛卡尔广义坐标，用带乘子的拉格朗日方程处理具有多余坐标的完整约束系统或非完整约束系统，导出以笛卡尔广义坐标为变量的运动学方程。ADAMS 的计算程序应用了吉尔（Gear ）的刚性积分算法以及稀疏矩阵技术，大大提高了计算效率【25】。ADAMS 程序采用拉格朗日乘子法建立系统运动方程： （2.1）其中 T系统动能；q系统广义坐标列阵；Q广义力列阵；p对应于完整约束的拉氏乘子列阵；对应于非完整约束的拉氏乘子列阵；一般情况下，力学系统在运动时都会受到某些几何或者运动学特性的限制，这些构成限制条件的具体物体成为约束。如果约束方程仅仅是系统位形和时间的解析方程，则这种约束称为完整约束，完整约束方程的一般形式为： （j=1,2,m）; （2.2）式中，为描述系统位形的广义坐标（i=1,2,n）;n为广义坐标的个数；m为完整约束方程个数；t为时间。如果约束方程不仅包含系统的位形，还包括广义坐标对时间的导数或广义坐标的微分，而且不能通过积分使之转化为包含位形和时间的完整约束方程，则这种约束就称之为非完整约束，一介非完整约束方程的一般形式为： （j=1,2,m）; （2.3）式中，为描述系统位形的广义坐标（i=1,2,n）;为广义坐标对时间的导数；n为广义坐标的个数；m为系统中非完整约束方程个数；t为时间【26】。上述有关多刚体系统动力学的理论知识，是本文中ADAMS软件所用到的理论知识，这些是建立矿用自卸车整车动力学模型和仿真计算的理论和技术基础。多体系统动力学的发展自欧拉以来，已形成许多比较系统的研究方法，但其共同点都是采用程式化的方法，借助高性能、高速度的计算机的发展，使得多体动力学的应用领域日益广泛。2.1.2 动力学方程的求解多刚体系统动力学的研究对象多为复杂的多体系统，其结构和连接方式变化不一，在建立动力学方程的时候困难重重，同时系统动力学方程为非线性高阶方程，方程的建立和求解必须有高性能计算机来完成。本文针对多刚体的复杂性，采用以拉格朗日方程为代表的分析力学方法，拉格朗日法的基本思想是将系统的总动能以系统变量的形式表示，后带入拉格朗日方程，对其求偏导数，得到系统的运动方程。拉格朗日方程为： （i=1,2,n） (2.4)其中 第i个质点的广义坐标；对应于广义坐标的广义主动力；n系统方程的阶数系统的总动能系统的总势能系统的总耗散能在建立动力学的方程时，独立的拉格朗日坐标非常困难，应当采用不独立的笛卡尔广义坐标较为便捷，而一些完整或非完整约束系统带有多余的坐标，通过乘子的拉氏方程处理是非常规范的方法。导出的以笛卡尔广义坐标为变量的动力学方程是与广义坐标数目相同带乘子的微分方程，补充广义坐标的代数使其封闭。采用微分-代数方程的求解算法进行求解，用GEAR预估-校正算法可有效的求解微分代数方程。通过预估算法以及求解程序来校正，求解非线性方程，最终可得到雅克比矩阵： (2.5)其中 系统刚度矩阵；系统阻尼矩阵；系统质量矩阵；约束反力及作用力列阵；F描述约束的代数方程列阵q广义坐标列阵Gear积分程序的系数值分解系统雅克比矩阵，重复迭代校正步骤，微分-代数方程的求解算法是重复预估、校正、进行误差控制的过程，直到求解时间达到规定的模拟时间。2.2 有限元基本理论有限元法是二十世纪六十年代逐渐发展起来的对连续体力学和物理问题的一种新的数值求解方法，它是力学、计算方法和计算机技术相结合的产物，有着自己的理论基础和解题方法。有限元法不仅具有理论完整可靠，形式单纯、规范，精度和收敛性能得到保证等优点，而且可根据问题的性质构造更加适用的单元，从而具有它比其它数值解法更广的适用范围。有限元法是以力学理论为基础，是力学、数学和计算机科学相结合的产物，即是将连续体离散化的一种近似方法，依托于其力学基础与变分原理，将连续体划分成有限个单元的集合，在单元内采用分片插值的方法表达力学函数的分布，求解离散后的代数方程得到力学函数的数值解。它是随着计算机技术和计算方法的发展而快速发展起来的一种数值计算方法，是一种解决工程实际问题的有利的数值计算工具，它几乎适用于求解所有连续介质和场的问题【27-30】。从有限元法所用的力学基础理论来看，涉及弹性静力学、动力学、弹塑性力学与接触理论、疲劳与断裂力学、复合材料力学、流体力学和热力学等众多学科。有限元法是近似求解一般连续问题的数值方法。对于一个机械结构，实际上是具有无限多自由度的连续体，这就使得实现数值解发生了困难。克服这个困难的办法就是把连续体离散化，然后借用结构矩阵分析的方法来处理。假想把连续体分割成数目有限的小块体(称为有限单元或简称单元)，彼此间只在数目有限的指定点处(称为节点或结点)相互连接，组成一个单元的集合体以代替原来的连续体；又在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。对于每个单元根据分块近似的思想，选择一个简单的函数来近似的表示其位移分量的分布规律，并按弹塑性理论中的变分原理建立单元节点力和位移之间的关系。最后把所有单元的这种特性关系集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，由这个方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移分量。根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，选取各种类型的单元。建立近似的力学模型，对该模型进行数值计算，通过对这些单元分别进行分析，假设一个简单的函数来模拟其位移分量的分布规律，即选择单元位移模式。位移模式取决于单元的自由度和有关解的收敛性要求。再通过虚功原理(或变分原理等其它方法)，将微分方程化为代数方程，求得每个单元的平衡方程，也就是建立单元节点力与节点位移之间的关系。最后，把所有单元的这种特性关系按照保持节点位移连续和节点力平衡的方式集合起来，就可以得到整个物体的平衡方程组，形成整体结构的刚度方程。如果划分单元数目足够多而合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。分析过程中首先从单元分析入手，确定单元内的位移、应变、应力模式，并确定单元节点力与单元节点位移的关系，建立单元刚度矩阵。根据离散化结构的联接方式，将各个单元刚度矩阵进行组集，得到反映整体结构位移与载荷关系的总体刚度方程，引入边界约束条件后， 通过求解该刚度方程可以得出各个单元的位移，再利用单元分析得到的关系可以求出单元应力及其应变。有限元法可用于各种模拟和分析方法中，在固体力学、流体力学、机械工程、土木工程、电气工程等领域得到了广泛应用。由于其所涉及问题和算法基本上都是来源于工程实际，应用于工程中，其解决工程实际问题的能力愈来愈强。在汽车领域，有限元法可用于建立汽车结构系统的振动模型，还可以用于设计的刚度与变形分析、设计的应力与疲劳分析、碰撞模拟和塑性变形分析等。线弹性体的静力分析问题是整个结构有限元分析的基础。它主要由以下步骤完成：(1)结构的离散化；(2)选择位移函数；(3)分析单元的力学特征；(4)计算等效节点荷载；(5)整体分析；(6)应用位移边界条件；(7)求解结构平衡方程；(8)计算单元应力。在选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者，当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元法的解答越趋近于精确解。满足收敛的条件有：(1)在单元内，位移函数必须是连续的；(2)单元位移函数必需包括刚性位移项；(3)在单元内，位移函数必须包括常应变项；(4)关于相邻单元公共边界上的连续性。单元位移函数确定后，利用弹性力学的基本方程就可以进行单元分析。单元分析的主要内容就是由单元的节点位移表达出单元的应变和应力。从而建立起单元的平衡方程，并求出单元的刚度矩阵。通过整体分析，建立起结构物在整体坐标系的平衡方程。引入支承(约束)条件后，整体方程就转变为具有唯一解的线性方程组，求解该方程可得到各节点的位移，进一步计算可得到单元的内力和应力，以及单元内任一点的位移【31-33】。2.3结构优化方法简介结构优化设计是当前CAE技术发展的一个热门话题，结构优化简单来说就是在满足一定的约束条件下，通过改变结构的设计参数，以达到节约原材料或提高结构性能的目的。在学术研究领域，变密度法、均匀化法、水平集法以及各种准则法等百家争鸣。相关商业软件层出不穷，Altair公司推出的Optistruct是一个面向产品设计、分析和优化的有限元和结构优化求解器，拥有全球先进的优化技术，提供全面的优化方法。自发布以来，被广泛而深入地应用到各个行业，在航空航天、汽车、机械等领域取得大量革命性的成功应用。结构优化设计技术在工业界的应用也逐步成熟，从行业角度来说，从早期的汽车零部件轻量化设计和飞机机身机翼的板、杆、梁及蒙皮尺寸优化，迅速发展到汽车、飞机和船舶的结构布局优化，由早期的线性静态和模态性能指标，已拓展到振动噪声性能、碰撞安全性能、疲劳性能等性能指标。结构优化设计通常是指在给定结构外形，给定结构各元件的材料和相关载荷及整个结构的强度、刚度、工艺等要求的条件下，对结构进行整体和元件优化设计【34，35】。2.3.1优化流程优化设计的三要素，设计变量、目标函数和约束条件。设计变量是发生改变从而提高性能的一组参数；目标函数要求最优的设计性能，是关于设计变量的函数；约束条件是对设计的限制，是对设计变量和其他性能的要求。优化数学模型可表述为： j=1,m k=1, （2.6） i=1,n 其中，是设计变量,如零件的厚度；f(X)是设计目标，如产品的质量或应力等；g(X)和h(X)是需要进行约束的设计响应，如对构件的质量分数或者频率等的约束。Optistruct采用数学规划方法，通过求解灵敏度构造近似显式模型，采用小步长迭代找到最优解，是目前工程上高效、稳健的优化方法。优化流程如图2.1所示：OptiStruct是以有限元理论为基础的最优化工具，借助尺寸优化、形状优化、拓扑优化和形貌优化，可以产生精确的设计概念和布局。其优秀的优化方法和技术可以为产品的优化目标提供完整可行的解决方案。OptiStruct拥有快速精确的线性有限元求解器【36】。开始设计变量初始化有限元分析模型建立有限元分析计算 调整设计变量约束和目标函数计算优化方法搜索寻优 否结果收敛判断 是最优目标函数值确定结束图2.1优化流程图2.3.2 灵敏度分析设计灵敏度就是结构响应对设计变量的偏导数。对于有限元方程： (2.7)两边对设计变量X求偏导数： (2.8)则对位移向量U的偏导数为： (2.9)设计响应是位移向量U的函数： (2.10)所以设计响应对设计变量的偏导数为：S (2.11)若直接用上述方法求解，称为直接法，直接法适合于设计约束很多而设计变量很少的优化问题，对于设计约束较少而设计变量很多的优化问题，在计算灵敏度时可以引入伴随变量E，其满足方程： (2.12)推导可知： (2.13)加入伴随变量的求解方法称之为伴随变量法。2.3.3 近似模型拟合直接对有限元模型进行优化在每个迭代步需要多次有限元求解，工作量很大，同时有限元模型是隐式的，必须进行显式近似从而建立显式近似模型，方便进行后续优化。利用灵敏度信息对结构响应进行泰勒展开，从而得到显式近似模型。有几种近似方法。线性近似： （2.14）倒近似： （2.15）凸近似： （2.16）优化问题在科学研究和工程实际中比比皆是，求解时必然需要建立有些复杂的数学模型。然而在实际应用中，由于对问题的机理认识不够充分或研究对象过于复杂，往往很难给出显式的数学表达式，导致无法直接进行优化。这往往出现周期长、效率低、成本大等等问题，近似模型技术的出现为复杂系统的建模优化提供了一种新的方法。近似模型可大幅度提高分析任务的效率，在任何情况下应用近似模型的最大好处都是为了减少实际仿真软件的调用次数。当涉及开销大的仿真计算时这一好处尤其明显，近似模型的应用通常可将实际求解时间大大缩短几个数量级。近似方法已被广泛地应用，并被证明可以解决高度复杂的真实物理问题，其中一些问题由于运行时间在从前是不可能解决的【37】。在计算求解时，无论是调用显式还是隐式的近似模型，当连续的两次迭代目标值小于给定的收敛容差时，优化问题求解收敛，用户可控制迭代的次数来强制使优化问题结束，求解优化问题后，有可能出现局部最优解，Optistruct具有全局搜索优化，它是基于多起点优化算法求解非凸优化问题，通过从多个起点开始执行优化，广泛地在设计空间内探索最优解，可有效的找到全局最优解，保证了优化的准确性。【38】2.4结构优化方法结构优化方法已在汽车、土木、航空航天等众多领域取得很好的效果，结构优化的最终目的是以最节省的材料，最低的成本，最简单明了的工艺，实现结构的最佳性能，包括刚度、强度、频率等力学性能。工程实际表明，将优化设计方法应用到工程领域，不仅可以大大地缩短设计的周期，显著地提高设计质量，而且还可以解决传统设计方法无法解决的复杂设计问题。结构优化设计的模型中通常是包括约束条件、目标函数及设计变量，这三方面在结构优化中作用不同却必不可少。结构优化是在工件满足一定约束的条件下，通过改变结构的长度、厚度等尺寸参数变量，以达到工程结构的目标原材料最省，同时结构性能得到明显提高的一种优化方法。【39】当前的结构优化主要借助计算机为工具，在分析算法和数学理论的基础上，在全局自动搜寻结构的最优设计方案。结构优化主要包括概念设计阶段的拓扑优化、形貌优化和自由尺寸优化，以及详细阶段的尺寸优化、形状优化和自由形状优化。本文针对非公路矿用自卸车车厢进行分析研究，主要涉及尺寸优化（Size Optimization），下面对尺寸优化理论进行阐述：尺寸优化是最经典的优化技术，一般也叫做参数优化技术，在改变模型参数值的前提下网格模型保持不变，可以对有限元模型的各种参数，如板件厚度、杆梁截面尺寸、材料特性、弹性元件刚度等进行优化根据设计阶段的不同，可分为两种类型：1.用于详细设计的尺寸优化技术。产品或零部件的结构形式已经确定，只需确定一些规格尺寸和参数即可。在实际工程应用中，经常会采用离散变量进行优化。工程上经常采用经验或者解析的方法来确定零部件尺寸和参数，可以把这些工程算法通过数学表达式，或者外部函数集成到优化问题中，从而考虑更多的设计约束。2.用于概念设计的自由尺寸优化。这种技术用于确定非等厚度的薄板零件，在尺寸优化中，设计空间每个单元的厚度就是一个设计变量，其优化算法同拓扑优化类似。在尺寸优化设计中，不改变结构的拓扑形态和边界形状，只是对特定的尺寸进行调整，相当于在设计初始条件中就增加了拓扑形态的约束。在本文中以非公路自卸车车厢的尺寸优化来说，以车厢底板，前挡板等加强板的厚度为设计变量，第i个加强板厚度变量为（i=1,2,n）, 为设计变量，约束为，车厢的总体积为V(X),车厢尺寸优化的模型可描述为： (i=1,2,n; j=1,2,m) (2.17)其中为第i个部件的面积，和分别为部件厚度的下限值和上限值，为规定的应力值。2.5模态分析的理论基础所谓模态分析，就是确定设计结构或机械零部件的振动特性，得到结构固有频率和振型的过程，它是动态设计的核心。研究的是结构模态即自由模态，是结构本身的特性与材料特性所决定的，与外载条件等无关（即无需加任何载荷和约束），而结构在任意初始条件及外载作用下的强迫振动都可以由结构按这些基本特性的强迫振动的线性组合构成。模态分析可以在产品设计初期预测结构的模态性能，尽可能避免相关设计缺陷，及时修改和优化设计方案，从而大大缩短产品开发的周期。数值模态分析利用计算机建立有限元模型，应用数值理论对模型进行解耦，求得结构的模态参数，并利用这些参数对结构进行预测以及评价。模态分析主要应用于研究结构振动特性，同时也是进行结构改进的提供理论基础。用有限元法对其进行模态分析可以在设计初期即对自卸车的固有振动特性（固有频率和振型）有充分的认识,避免相关设计缺陷,及时修改和优化设计,使结构具有合理的动态特性,从而在设计阶段就可以减少振动噪声的产生和传递，验证设计方案是否能满足使用要求,达到缩短设计周期、节省试验费用、避免共振和提高行驶性能的目的，因而得到了广泛应用。车辆行驶过程中要承受各种来自外界和内部激励源的激励，在路面行使时激励主要来源于路面、车轮不平衡、发动机、传动系，其中主要的激励来自于路面对车轮的冲击和发动机的激振。车厢是自卸车受力较复杂的部件，长期在振动和冲击载荷下工作，寻求车厢正确且可靠的设计和计算方法，是提高车厢的工作性能和可靠性的主要途径。车厢设计中，预先掌握所设计产品的动态特性，从动态角度对产品进行设