三角形外心的性质与证明.doc

三角形外心的性質與證明教材章節:國中數學第五冊第三章第三節教學目標:根據外心的基本定義推導出下列性質：若ABC為銳角三角形，且O為ABC的外心，則BOC2A。若ABC為鈍角三角形，A為鈍角且O為ABC的外心，則BOC360。2A。思考與分析:根據題目我們唯一可以知道的線索只有一個那就是-為外心，所以很明顯的我們應該由外心的定義與性質著手，首先我們先複習一下什麼是外心？外心的定義：三角形三邊中垂線的交點，叫做這個三角形的外心。外心是三角形三邊中垂線的交點，講到中垂線，你又會想到什麼呢？過去我們曾經證明過一線段之中垂線上的任一點到線段的兩端點等距離，如果是這樣，那麼根據這個好性質我們又能下怎樣的結論呢？沒錯！那就是三角形的外心到三頂點等距離，且是三角形外接圓的圓心。有了這些訊息現在我們可以朝下面兩個方向去努力，看看能不能得到更進一步的資訊或看出什麼端倪，第一：外心到三頂點等距離；（p.153）第二：外心是三角形外接圓的圓心。（p.153）第一部份已知：O為銳角三角形ABC的外心 求證：BOC2A【分析方向一】利用外心到三頂點等距離（a）想到作 ，因為外心到三頂點等距離，得，所以OAB、OAC、OBC為等腰三角形12、34、56（b）題目中出現BOC、A，我們是不是能想辦法用1、2、3、4、5、6來表示A和BOC呢？很明顯，我們知道23A 所以題目中的 2A可視為22232A2（23）2223又因為12、34，所以2A(12)(34)即 2A 2（23）2223(12)(34)（c）(12)(34)中，其中（12）為OAB的兩個內角和，（34）為OAC的兩個內角和，講到三角形兩內角之和聯想到三角形外角定理 三角形外角定理：三角形任一外角等於其兩個內對角之和（d）製造外角，所以延長線段AO，得712、834（e）稍作整理不難發現BOC 2ABOC78（12）（34）22232A【證明一】（1） 作 （2） OAB、OAC為等腰三角形 12、34（3） 2A2（23）2223（12）（34） 78 （根據三角形外角定理） 又 BOC78 BOC2A【分析方向二】利用外心是三角形外接圓的圓心（a） 因為O為ABC的外心，所以O為ABC 外接圓的圓心。 （b） A為圓周角、BOC為圓心角且兩角夾 等弧。 圓周角的度數等於所夾弧度數的一半 圓心角的度數等於所夾弧的度數A、BOC【證明二】A （圓周角的度數等於所夾弧度數的一半）BOC （圓心角的度數等於所夾弧的度數）BOC2A第二部份已知：O為鈍角三角形ABC的外心且A為鈍角求證：BOC360。2A 【分析方向一】利用外心到三頂點等距離（a）想到作 ，因為，所以 OAB、OAC為等腰三角形 1ABO、2ACO（b）題目出現BOC、A，所以想辦法用1、2、3、4、ABO、ACO來表示A和BOC BAC12、BOC34， 3180。(1ABO)、4180。(2ACO)，所以 BOC34180。(1ABO)180。(2ACO) (180。21)+(180。22) (AOB=1、ACO=2)360。2（12） 因為12A，所以BOC360。2AD.【證明一】（1）作 （2） OAB、OAC為等腰三角形 1ABO、2ACO（3）BOC34180。(1ABO)180。(2ACO)（180。21）（180。22）360。2（12）360。2A【分析方向二】利用外心是三角形外接圓的圓心（a） 因為O為ABC的外心，所以O為 ABC外接圓的圓心。（b）A為圓周角、BO