全国高考数学复习第八篇平面解析几何第3节椭圆习题理.docx

第3节椭圆【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程1,2椭圆的几何性质2,3,4,5,6,7,8,11,12,13直线与椭圆的位置关系9,10,14基础对点练(时间:30分钟)1.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF2|=,则cosF1PF2等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:|PF2|=,|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|=3,所以cosF1PF2=.故选D.2.设椭圆C:+=1(ab0)的左焦点为(-2,0),离心率为,则C的标准方程为(A)(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:由题知c=2,e=,所以a=4,b2=16-4=12,椭圆C的标准方程为+=1.故选A.3.(2016福州三中模拟)椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,过F2作直线l垂直于x轴,交椭圆C于A,B两点,若F1AB为等腰直角三角形,且AF1B=90,则椭圆C的离心率为(A)(A)-1(B)1-(C)2-(D)解析:因为AF2x轴,所以A(c,),2c=,所以2ac=b2=a2-c2,所以2e=1-e2,得e=-1.故选A.4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为(C)(A)2(B)3(C)6(D)8解析:设P(x,y),向量=(x,y),=(x+1,y),=x2+y2+x,又y2=,代入得=x2+x+3,所以当x=2时,有最大值6.故选C.5.(2016广西来宾高中模拟)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上,且直线PA2的斜率的取值范围是-2,-1,那么直线PA1斜率的取值范围是(A)(A),(B),(C),1(D),1解析:设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-,所以k1=-,因为k2-2,-1,所以k1,.故选A.6.椭圆+=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)-2解析:本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用.由椭圆的性质可知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,故(a-c)(a+c)=(2c)2,可得=e(舍去负值).故应选B.7.直线y=-x与椭圆C:+=1(ab0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为(C)(A) (B)(C)-1(D)4-2解析:由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c,由y=-x,得AOF2=,AOF1=.所以|AF2|=c,|AF1|=c.由椭圆定义可知,|AF1|+|AF2|=2a,所以c+c=2a,所以e=-1.故选C.8.(2016陕西安康联考)椭圆mx2+y2=1(m1)的短轴长为m,则m=.解析:由题意得2=m,m=2.答案:29.已知椭圆C:+y2=1,斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=,则直线l的方程为.解析:设直线方程为y=x+b,联立可得4x2+6bx+3b2-3=0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以=,所以b=1,直线l为y=x1.答案:y=x110. 导学号 18702441如图所示,已知椭圆+=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB=90,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.解:(1)因为|AF1|=|AF2|=a,且F1AF2=90,|F1F2|=2c,所以2a2=4c2,所以a=c,所以e=.(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),由=2,解得x=,y=-,代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3,所以b2=a2-c2=2.所以椭圆方程为+=1.能力提升练(时间:15分钟)11.导学号 18702442已知五个数2,a,m,b,8构成一个等比数列,则圆锥曲线+=1的离心率为(C)(A) (B)(C)或 (D)或解析:由题意得28=ab=m2,所以m=4,当m=-4时圆锥曲线表示双曲线,a2=2,b2=4,所以c2=6,所以e=;当m=4时圆锥曲线表示椭圆,a2=4,b2=2,所以c2=2,所以e=.故选C.12.椭圆+=1的离心率为e,点(1,e)是圆x2+y2-4x-4y+4=0的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程是(B)(A)3x+2y-4=0(B)4x+6y-7=0(C)3x-2y-2=0(D)4x-6y-1=0解析:依题意有e=,中点为(1,),圆心为(2,2),中点和圆心连线的斜率为,所以弦所在直线的斜率为-,直线方程为y-=-(x-1).即4x+6y-7=0.故选B.13.(2016郑州一中考前冲刺)若P为椭圆+=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则的取值范围是.解析:因为=(-)(-)=-(+)+=|cos -0+|2=-4+|2.又因为椭圆+=1的a=4,b=,c=1,N(1,0)为椭圆的右焦点.所以|NP|a-c,a+c=3,5,所以5,21.答案:5,2114.导学号 18702444已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,右焦点到直线x+y+=0的距离为2.(1)求椭圆的方程;(2)过点M(0,-1)作直线l交椭圆于A,B两点,交x轴于N点,且满足=-,求直线l的方程.解:(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c0),则=2,c+=2,c=或c=-3(舍去).又离心率=,则=,故a=2,b=,故椭圆的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),因为=-,所以(x1-x0,y1)=-(x2-x0,y2),y1=-y2. 易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时,不成立,于是设直线l的方程为y=kx-1(k0),联立方程消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0, 因为0,所以直线与椭圆相交,于是y1+y2=-, y1y2=, 由得,y2=,y1=-,代入整理得8k4+k2-9=0,k2=1,k=1,所以直线l的方程是y=x-1或y=-x-1.好题天天练1.导学号 18702446若直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为(D)(A)0(B)至多有一个(C)1(D)2