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第4章平行四边形 4 6反证法 否定式命题 例1若k是整数 m是奇数 求证 方程x2 mx k 0不可能有两个相等的实数根 分析 这题看起来似乎无从着手 其实从 方程x2 mx k 0不可能有两个相等的实数根 入手 我们可以先计算b2 4ac的值 用含k m的代数式表示 从结论的反面入手 假设原方程有两个相等的实数根 利用它进行推导 得出矛盾即可 证明 假设方程x2 mx k 0有两个相等的实数根 则b2 4ac m2 4k 0 m是奇数 m2也是奇数 k是整数 4k是偶数 m2 4k是奇数 这与m2 4k 0相矛盾 假设是错误的 因此原结论成立 注意点 这类命题与存在性命题相反 在结论中出现 没有 无 不可能 等一些否定的词语 假设其反面就是 存在一个 或 可能 本例从结论的反面入手 利用 奇数一偶数 偶数 这一整数运算的性质 在推导过程中两个结果自相矛盾 得出假设不成立 从而原结论成立 存在性命题 例2求证 三角形中必有一个内角不小于60 证明 已知 a b c是 abc的内角 假设所求证的结论不成立 即 a 60 b 60 c 60 则 a b c 180 这与三角形三个内角的和等于180 相矛盾 所以假设不成立 所求证的结论成立 分析 必有一个内角不小于于60 其反面 没有一个 注意点 这类命题通常在结论中会出现 存在 之类的词语 那假设其反面就是 没有一个 反证法其实是一种重要的间接证法 一般地说 如果命题的结论难以直接证明 而其反面却易于否定时 那么反证法的使用就会使得问题迎刃而解 至多 至少 的命题 例3求证 一个三角形中至少有2个锐角 分析 至少有2个 的反面是 至多有1个 分两种情况 只有一个锐角 3个角都不是锐角 证明 反证法 假设一个三角形中至多有1个锐角 当一个三角形中只有一个锐角时 其余两个角都大于或等于90 这两个角之和大于或等于180 这与定理 三角形的内角和为180 矛盾 当一个三角形中3个角都不是锐角时 即这三个角都大于或等于90 它们之和显然大于180 同样与定理 三角形的内角和为180 矛盾 注意点 当一个命题的结论是以 至多 至少 等形式出现时 用反证法易证 注意 至多存在n个 的假设其反面为 至少存在 n 1 个 至少存在n个 的假设其反面为 至多存在 n 1 个 综上所述 两种情况均与定理 三角形的内角和为180 矛盾 所以假设不成立 因此原结论成立 例用反证法证明 在 abc中至多有一个直角或钝角 时 应假设 a 三角形中至少有一个直角或钝角b 三角形中至少有两个直角或钝角c 三角形中没有
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