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1 2 2基本不等式的应用 一 不等式定理及其重要变形 定理 重要不等式 推论 基本不等式 又叫均值不等式 如果把看做是两正数a b的等差中项 看做是两正数a b的等比中项 那么均值不等式可叙述为 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 二 代数意义 三 几何意义 均值不等式的几何解释是 半径不小于半弦 结构特点 均值不等式的左式为和结构 右式为积的形式 该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系 运用该不等式可作和与积之间的不等变换 a b 四 公式的拓展 当且仅当a b时 成立 公式的应用 一 证明不等式 公式的应用 二 求函数的最值 一正 二定 三相等 和定积最大积定和最小 创造条件 注意取等号的条件 利用二次函数求某一区间的最值 分析一 原函数式可化为 y 3x2 x 分析二 挖掘隐含条件 配凑成和成定值 即的最小值为 错因 过程中两次运用了均值不等式中取 号过渡 而这两次取 号的条件是不同的 故结果错 解 正解 当且仅当 即 时取 号 即此时 1 代换法 用均值不等式求最值时 要注意检验最值存在的条件 特别地 如果多次运用均值不等式求最值 则要考虑多次 或者 中取 成立的诸条件是否相容 4 阅读下题的各种解法是否正确 若有错 指出有错误的地方 错题辨析 正解 当且仅当 即 时取 号 即此时 公式应用 三 解决实际问题 5 如图 教室的墙壁上挂着一块黑板 它的上 下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米 问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大 6 某种商品准备两次提价 有三种方案 第一次提价m 第二次提价n 第一次提价n 第二次提价m 两次均提价 试问哪种方案提价后的价格高 解 设原价为m元 令a m b n 则按三种方案提价后的价格分别为 a 1 a 1 b m 1 a b ab m c 1 2 m 1 a b m 只需比较ab与的大小 易知 b 1 b 1 a m 1 a b ab m 实际问题 抽象概括 引入变量 数学模型 数学模型的解 实际问题的解 还原说明 解应用题思路 1 设且a b 3 求 a b的最小值 2 设则的最大值为 设满足 且则的最大值是 a 40b 10c 4d 2 各项或各因式为正 和或积为定值 各项或各因式能取得相等的值 必要时作适当变形 以满足上述前提 即 一正二定三相等 二元均值不等式具有将 和式 转化为 积式 和将 积式 转化为 和式 的放缩功能 设应用均值不等式的条件 合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧 而拆与凑的成因在于使等号能
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