2010.10.10基本初等函数讲义.doc

赵 老 师 高 中 数 学 辅 导基本初等函数指数函数指数函数中蕴含着丰富的数学思想方法，解题时若能充分运用这些数学思想方法，可使许多问题获得简洁巧妙的解决一、数形结合思想例1若函数（，且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）（A）0a1且b0（B）a1且b0（C）0a1且b0（D）a1且b0解析：因为函数的图象经过第二、三、四象限，结合指数函数的图象特征可知，函数为减函数，即0a1，所以函数图象如图所示又因为图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即，b0故选（C）点评：熟悉函数的图象特征是数形结合的基础二、分类与整合思想例2设，其中a0，a1确定x为何值时，有（1）； （2）解：（）， ，（）， 当a1时，解得当0a1时，解得点评：求解指数函数、对数函数问题时，要养成关注底数的好习惯，若底数含有字母，就需要分情况进行讨论三、转化思想例3若正整数m满足，求m的值（lg20.301）解：将指数转化为对数，由，得，即由，得所以原不等式可转化为将代入，得故正整数m155点评：有关指数、对数大小比较问题，常常需将问题转化，有时根据问题的需要将指数式转化为对数式，有时需将对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现转化思想是中学重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用的目的四、整体思想例4函数（a0，a1）在0，1上的最大值与最小值的和为3，则实数a的值为 （B）（A）（B）2（C）（D）4练习：1方程的解所在区间为（B ）（A）（0，1）（B）（，3）（C）（3，4）（D）（4，）2若函数（a0，且a1）在0，1上的最大值与最小值之和为a，则a的值为（B）（）（）（）2（）43设且，若，试比较P，Q的大小提示：1在同一坐标系中分别画出与的图象，数形结合求解2用整体思想求解3解：当时，由在（，+）上递减知，即，又当时，在（0，+）上递减，即PQ同理，当a1时，有，即，即PQ综上可得PQ解题误区一、混淆指数幂与指数函数概念例1 若，且，求的取值范围。错解 ，且，由指数函数的单调性得。辨析在有意义的情况下，指数的底数可以取全体实数，错解中用指数函数的底数大于零且不等于1限制指数的底数，显然是错误的正解 当时，成立；当时，；当时，成立。的取值范围是或。二、忽略指数函数底数的范围例2 求函数的单调递增区间。错解：令 设任意 则 即 故 在上为增函数。 辨析：对于指数函数单调性的讨论，必须分底数大于1和底数大于0且小于1，两种情况来讨论。 正解：令当 时，对任意 则 得即 又易知 在上为增函数同理，当时，同理函数在上是增函数。三、忽略新元的取值范围例3求函数的值域错解：令，则，故该函数的值域为1，）辨析：换元后未挖掘新元t的取值范围导致错解，同时也未根据a来分类讨论正解：令，t（0，），则（t0），结合二次函数的性质可知：当a0时，值域为（，）；当a0时，值域为1，）对数函数1、 复习：(1)、对数的概念，(2)、对数的性质，(3)、对数恒等式2、 推导对数运算法则： 一、选择题：1对数式中，实数a的取值范围是（ D ）AB(2,5)CD 2如果lgx=lga+3lgb5lgc，那么（ C ）Ax=a+3bcB C Dx=a+b3c33设函数y=lg(x25x)的定义域为M，函数y=lg(x5)+lgx的定义域为N，则（ C ）AMN=R BM=N CMN DMN4若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是（ B ）A BC D5已知函数，其中log2f(x)=2x，xR，则g(x) （ D ）A是奇函数又是减函数 B是偶函数又是增函数C是奇函数又是增函数 D是偶函数又是减函数6北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：114=146，115=161)( B )A10% B164% C168% D20% 7如果y=log2a1x在(0，+)内是减函数，则a的取值范围是（ D ）Aa1Ba2Ca D二、填空题：8方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 0 .9将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为.10函数y= 的单调递增区间是.三、解答题：11已知函数.(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.解：(1)函数的定义域为(1，p).(2)当p3时，f (x)的值域为(，2log2(p+1)2)；当1p3时，f (x)的值域为(，1+log2(p+1).12设函数.(1)确定函数f (x)的定义域；(2)判断函数f (x)的奇偶性；(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；(4)求函数f(x)的反函数.解： (1)由得xR，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x1，x2R，且x1x2，则. 令，则.=x1x20，t1t20，0t1t2，f (x1)f (x2)lg1=0，即f (x1)f (x2)， 函数f(x)在R上是单调增函数.(4)反函数为(xR).13 现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为；2小时后，细胞总数为；3小时后，细胞总数为；4小时后，细胞总数为；可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为： ，由，得，两边取以10为底的对数，得， ，.答：经过46小时，细胞总数超过个.14已求函数的单调区间.解：由0得0x1，所以函数的定义域是(0,1)因为0=，所以，当0a1时, 函数的值域为当0a1时，函数在上是增函数，在上是减函数.函数应用一、选择题. 1某工厂10年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说法正确的是:前五年中产量增长的速度越来越快前五年中产量增长的速度越来越慢第五年后，这种产品停止生产第五年后，这种产品的产量保持不变 AA B C D2如下图ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且lAB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y=f（x）的图象大致为 C 3已知镭经过100年，剩留原来质量的9576%，设质量为1的镭经过x年的剩留量为y，则y与x的函数关系是 AAy=09576 By=09576100xCy=（）x Dy=1（00424）4某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（ba），再前进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是 C二、填空题. 5某工厂1992年底某种产品年产量为a，若该产品的年平均增长率为x，2000年底该厂这种产品的年产量为y，那么y与x的函数关系式是_ y=a（1+x）8_6周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（半径为r），若矩形底边长为2x，此框架围成的面积为y，则y与x的函数解析式是_ y=（+2）x2+lx+r2（0x）_7某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b元，若该船以速度v千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为 y （元），则y与v的函数解析式为y=av3+（v0）三、解答题.11.一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为24%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？解：设这种货的成本费为a元，则若月初售出，到月末共获利润为：y1=100+（a+100）24%若月末售出，可获利y2=1205=115（元）y2y1=0024a126=0024（a525）故当成本大于525元时，月末售出好；成本小于525元时，月初售出好12.某种商品现在定价每年p元，每月卖出n件，因而现在每月售货总金额np元，设定价上涨x成，卖出数量减少y成，售货总金额变成现在的z倍（1）用x和y表示z. （2）若y=x，求使售货总金额有所增加的x值的范围解：（1）npz=p（1+）n（1） z=（2）当y=x时，z= 由z1，得1x（x5）0，0x514.某工厂有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件是：(1) 建1m新墙的费用为a元；(2) 修1m旧墙的费用为元；(3) 拆去1m的旧墙，用可得的建材建1m的新墙的费用为元，经讨论有两种方案： 利用旧墙一段x m（0