7、教师版三角函数周期性(含答案).doc

三角函数的周期性考点六、三角函数周期性（一）周期性的基本概念一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是正弦函数、余弦函数的周期.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数是周期函数,2k(kZ且k0)是它的周期，最小正周期是2.正切函数是周期函数，且周期T（2）求三角函数的周期1、定义法求函数的周期1、 求下列函数的周期 , (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数，对于函数定义域内的每一个值都能使成立，同时考虑到正弦函数的周期是解： , 即 当自变量由增加到时，函数值重复出现，因此的周期是(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数，对于函数定义域内的每一个值都能使 成立，同时考虑到正切函数的周期是解： , 即 函数的周期是注意：1、根据周期函数的定义，周期是使函数值重复出现的自变量的增加值，如周期不是，而是； 2、是定义域内的恒等式，即对于自变量取定义域内的每个值时，上式都成立评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子出发，设法找出周期中的最小正数（须用反证法证明）2、求下列三角函数的周期： y=sin(x+) y=cos2x y=3sin(+)3、 求函数f（x）=tan（2x+）的周期解：因为tan（2x+ +）=tan（2x+）即tan2（x+）+=tan（2x+）tan（2x+）的周期是2、公式法求函数周期对于函数或的周期公式是，对于函数或的周期公式是1、 求函数的周期解： 2设的最小正周期是（）3已知函数（）的最小正周期是，则（）4函数ytan（ax）（a0）的最小正周期为 ( ) 3、图像法1、求下列函数的最小正周期解：分别作出两个函数的图像知的周期不是周期函数评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决 4、最小公倍数法1、设与是定义在公共集合上的两个三角周期函数，、分别是它们的周期，且，则的最小整周期是、的最小公倍数分数的最小公倍数1求函数的最小整周期解：设、的最小整周期分别为、，则，的最小整周期为2 求函数的周期解： 的最小正周期是， 的最小正周期是 函数的周期 ，把代入得 ，即， 因为为正整数且互质， 所以 函数的周期 3 求函数的周期解： 的最小正周期是，的最小正周期是，由， ， (为正整数且互质), 得 所以 函数的周期是 4、求函数的最小正周期解：（）是函数的周期显然中最小者是下面证明是最小正周期假设不是的最小正周期，则存在，使得：对恒成立，令，则但，与矛盾，假设不成立，是最小正周期（二）一般函数的周期性若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.1、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。2、 若函数，则是以为周期的周期函数3、 y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、，则是以为周期的周期函数.7、，则是以为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。10、函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；11、函数的图象关于和直线都对称，则函数 是以为周期的周期函数；考点一、求函数值1、f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0，2时f(x)=x，求f(2007) 的值 解：方法一 f(x)=f(x+4) f(x+8) =f(x+4) =f(x) 8是f(x)的一个周期 f(2007)= f(2518-1)=f(-1)=f(1)=1 方法二f(x)=f(x+4)，f(x)是奇函数 f(-x)=f(x+4) f(x)关于x=2对称 又f(x)是奇函数 8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同. 2、已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 解：由条件知f(x)1，故类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=23.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为 （ ）A B C D4、函数对于任意实数满足条件，若则_5、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)26(2008年德州检测)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，则f的值为()A B. C. D. 答案D考点二、 求函数解析式1、已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=2x+1，则当时求f(x)的解析式解：当时f(x)=2x+1f(x)是偶函数f(x)=f(x) f(x)=2x+1当时f(4+x)=2(4+x)+1=2x7又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x) 当时求f(x)=2x7考点三、判断函数的奇偶性1、已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999x)知f(x)关于x=999对称，即f(x)=f(1998+x)故f(x)=f(x) f(x)是偶函数考点四、判断函数的单调性1、已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数解：设则 f(x)在-2，0上是减函数 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(x+4)=f(x) f(-x)=f(x) 故当时f(x)为增函数2、f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调.求a的值. 解： f(x)=-f(6-x) f(x)关于（3，0）对称 f(x)= f(2-x) f(x)关于x=1对称 根据命题2（4）得8是f(x)的一个周期 f(2000)= f(0) 又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6)a5，9且f(x)在5，9上单调a =6 考点五、确定方程根的个数1、已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上f(x)=0至少有几个根？ 解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0，10上，方程f(x)=0至少两个根 又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根， 因此方程f(x)=0在区间1000，1000上至少有1+2=401个根.2、（05.福建12）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A6B7C4D53、已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_个实数根（答：5）4、(2009年海口模拟)f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间(6,6)内解的个数的最小值是(B)A10 B8 C6 D45、已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0,2009上的所有x的个数解析：(1)证明 f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数(2)当0x1时，f(x)x，设1x0，则0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函数，f(x)f(x)f(x)x，即f(x) x(1x0)故f(x) x(1x1)又设1x3，则1x21，f(