三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.5 双曲线课件.ppt

8 5双曲线 1 双曲线的定义 1 定义 平面上 到两定点的距离之差的绝对值为常数 小于两定点间距离 的动点轨迹叫做双曲线 2 双曲线的定义用代数式表示为 其中2a f1f2 3 当 mf1 mf2 2a时 曲线仅表示焦点f2所对应的双曲线的一支 当 mf1 mf2 2a时 曲线仅表示焦点f1所对应的双曲线的一支 当2a f1f2 时 轨迹是分别以f1 f2为端点的两条射线 当2a f1f2 时 动点轨迹不存在 mf1 mf2 2a 2 双曲线的标准方程 1 焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 给定双曲线标准方程 可以根据x2 y2的系数的正负判断焦点所在坐标轴 焦点在 2 若焦点位置不定 则可设双曲线的标准方程为ax2 by2 1 ab 0 系数为正的那个坐标轴上 3 双曲线的几何性质 c c 4 等轴双曲线 1 等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线 2 等轴双曲线 离心率e 两条渐近线垂直 位置关系 3 两条渐近线方程为y x 5 共轭双曲线双曲线 1 a 0 b 0 的共轭双曲线的方程为 1 它们有共同的渐近线 y x 它们的离心率e1 e2满足的关系式为 1 6 点p x0 y0 和双曲线 1 a 0 b 0 的关系 1 p在双曲线内 1 含焦点区域 2 p在双曲线上 1 3 p在双曲线外 1 7 焦点三角形双曲线上的点p x0 y0 与两焦点构成的 pf1f2称作焦点三角形 如图 设 f1pf2 pf1 r1 pf2 r2 1 cos 1 2 r1r2sin b2 c y0 8 共渐近线的双曲线系 1 与双曲线 1 a 0 b 0 有共同渐近线的双曲线方程为 k k 0 2 以直线 0 a 0 b 0 为渐近线的双曲线方程为 k k 0 c 9 ab为双曲线 1 a 0 b 0 的弦 设直线ab的斜率存在 为k k 0 a x1 y1 b x2 y2 弦中点m x0 y0 1 弦长l x1 x2 y1 y2 k 0 2 k 3 直线ab的方程 y y0 x x0 4 线段ab的垂直平分线方程 y y0 x x0 c 1 过双曲线 1左焦点f1的弦ab长为6 则 abf2 f2为右焦点 的周长是 a 12b 14c 22d 28答案d由双曲线定义知 af2 bf2 22 周长为22 6 28 c 2 与双曲线 1有共同的渐近线 且经过点 3 2 的双曲线方程为 a 1b 1c 1d 1答案d设所求双曲线方程为 k k 0 把 3 2 代入方程得 k 于是k 故双曲线方程为 即 1 故选d c 3 过双曲线m x2 1的左顶点a作斜率为1的直线l 若l与双曲线的两渐近线分别交于b c 且 则双曲线的离心率是 a b c d 答案a易知a点坐标为 1 0 直线ab y x 1 渐近线方程为y bx 由得b点的横坐标为 同理 得c点的横坐标为 又 b为ac的中点 即2 1 b 3 e 故选a c 4 在 abc中 cab cba 30 ac bc边上的高分别为bd ae 则以a b为焦点 且过d e的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 a b 1c 2d 2答案a设 ab 2c 则 bd c ad c 则椭圆的离心率e1 1 双曲线的离心率e2 1 故 c 5 设双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 离心率为e 过f2的直线与双曲线的右支交于a b两点 若 f1ab是以a为直角顶点的等腰直角三角形 则e2 a 1 2b 4 2c 5 2d 3 2答案c如图 因为 af1 af2 2a 而 af1 ab 所以 bf2 2a 所以 bf1 4a 又因为 abf1 所以在 bf1f2中 由余弦定理可知 解得e2 5 2 c 6 2015浙江杭州源清中学月考 已知双曲线 1的右焦点为 0 则该双曲线的渐近线方程为 答案2x 3y 0解析由题意得c 所以9 a c2 13 所以a 4 即双曲线方程为 1 所以双曲线的渐近线方程为2x 3y 0 c 双曲线的定义与标准方程典例1 2015天津 6 5分 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线过点 2 且双曲线的一个焦点在抛物线y2 4x的准线上 则双曲线的方程为 a 1b 1c 1d 1答案d解析因为点 2 在渐近线y x上 所以 又因为抛物线的准线为x 所以c 故a2 b2 7 解得a 2 b 故双曲线的方程为 1 故选d c 1 应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点 动点 具备的几何条件 即 到两定点 焦点 的距离之差的绝对值为一常数 且该常数必须小于两定点间的距离 若去掉定义中的 绝对值 点的轨迹是双曲线的一支 2 双曲线方程的求法 1 若不能明确焦点在哪条坐标轴上 则设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn0 b 0 有共同渐近线的双曲线方程可设为 0 3 若已知渐近线方程为mx ny 0 则双曲线方程可设为m2x2 n2y2 0 1 1设f1 f2为双曲线c 1 a 0 的左 右焦点 点p为双曲线c右支上一点 如果 pf1 pf2 6 那么双曲线c的方程为 离心率为 答案 1 解析由双曲线定义可得2a pf1 pf2 6 a 3 所以双曲线c的方程为 1 又b 4 所以c 5 则离心率e 1 2 2015课标 16 5分 已知f是双曲线c x2 1的右焦点 p是c的左支上一点 a 0 6 当 apf周长最小时 该三角形的面积为 c 答案12解析由已知得双曲线的右焦点f 3 0 设双曲线的左焦点为f 则f 3 0 由双曲线的定义及已知得 pf 2a pf 2 pf apf的周长最小 即 pa pf 最小 pa pf pa 2 pf af 2 17 即当a p f 三点共线时 apf的周长最小 设p点坐标为 x0 y0 y0 0 由得 6y0 96 0 所以y0 2或y0 8 舍去 所以当 apf的周长最小时 该三角形的面积s 6 6 6 2 12 双曲线的几何性质典例2 1 2015金丽衢十二校二联 7 5分 如图 已知双曲线c 1 a 0 b 0 的右顶点为a o为坐标原点 以a为圆心的圆与双曲线c的某渐近线交于两点p q 若 paq 60 且 3 则双曲线c的离心率为 a b c d 2 2015浙江 9 6分 双曲线 y2 1的焦距是 渐近线方程是 答案 1 b 1 2 y x解析 1 设圆a的半径为r 取pq的中点b 则由题意可得 ab r 且 3 化简得 ob r 在直角三角形abo中 tan boa 双曲线c的离心率为e 故选 c b 2 双曲线 y2 1中 a b 1 2c 2 2 其渐近线方程为y x 即y x 也就是y x 求双曲线离心率 渐近线问题的一般方法 1 求双曲线的离心率时 将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a b c的方程或不等式 利用b2 c2 a2和e 转化为关于e的方程或不等式 通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围 2 求渐近线时 利用c2 a2 b2转化为关于a b的方程或不等式 双曲线渐近线的斜率k与离心率e的关系 k 2 1 2014浙江 16 4分 设直线x 3y m 0 m 0 与双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线分别交于点a b 若点p m 0 满足 pa pb 则该双曲线的离心率是 答案解析由得a c 由得b 则线段ab的中点为m 由题意得pm ab kpm 3 得a2 4b2 4c2 4a2 故e2 e 2 2 2015宁波一模 13 6分 若过双曲线 x2 1上任一点p向两渐近线作垂线 垂足分别为a b 则 ab 的最小值为 答案解析依题意 双曲线 x2 1的两条渐近线方程分别为x y 0 x y c 0 设p x0 y0 故 1 即 3 3 因为a b为垂足 不妨设 pa pb 则 pa pb 在 pab中 ab 由图形易知 apb为定值120 cos apb 则 ab 当且仅当 pa pb 时等号成立 此时p位于双曲线的上顶点 直线与双曲线的位置关系典例3 2014福建 19 13分 已知双曲线e 1 a 0 b 0 的两条渐近线分别为l1 y 2x l2 y 2x 1 求双曲线e的离心率 2 如图 o为坐标原点 动直线l分别交直线l1 l2于a b两点 a b分别在第一 四象限 且 oab的面积恒为8 试探究 是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线e 若存在 求出双曲线e的方程 若不存在 说明理由 解析 1 因为双曲线e的渐近线分别为y 2x y 2x 所以 2 所以 2 故c a 从而双曲线e的离心率e 2 解法一 由 1 知 双曲线e的方程为 1 设直线l与x轴相交于点c 当l x轴时 若直线l与双曲线e有且只有一个公共点 则 oc a ab 4a 又因为 oab的面积为8 所以 oc ab 8 因此a 4a 8 解得a 2 此时双曲线e的方程为 1 若存在满足条件的双曲线e 则e的方程只能为 1 以下证明 当直线l不与x轴垂直时 双曲线e 1也满足条件 设直线l的方程为y kx m 依题意 得k 2或k 2 则c 记a x1 y1 b x2 y2 由得y1 同理得y2 由s oab oc y1 y2 得 8 因为4 k2 0 所以m2 4 4 k2 4 k2 4 由得 4 k2 x2 2kmx m2 16 0 所以 4k2m2 4 4 k2 m2 16 16 4k2 m2 16 又因为m2 4 k2 4 所以 0 即l与双曲线e有且只有一个公共点 因此 存在总与l有且只有一个公共点的双曲线e 且e的方程为 1 解法二 由 1 知 双曲线e的方程为 1 设直线l的方程为x my t a x1 y1 b x2 y2 依题意得 m 由得y1 同理得y2 设直线l与x轴相交于点c 则c t 0 由s oab oc y1 y2 8 得 t 8 所以t2 4 1 4m2 4 1 4m2 由得 4m2 1 y2 8mty 4 t2 a2 0 因为4m2 12或k 2 由得 4 k2 x2 2kmx m2 0 因为4 k20 所以x1x2 又因为 oab的面积为8 所以 oa ob sin aob 8 又易知sin aob 所以 8 化简得x1x2 4 所以 4 即m2 4 k2 4 由 1 得双曲线e的方程为 1 由得 4 k2 x2 2kmx m2 4a2 0 因为4 k2 0 直线l与双曲线e有且只有一个公共点当且仅当 4k2m2 4 4 k2 m2 4a2 0 即 k2 4 a2 4 0 所以a2 4 所以双曲线e的方程为 1 当l x轴时 由 oab的面积等于8可得l x 2 又易知l x 2与双曲线e 1有且只有一个公共点 综上所述 存在总与l有且只有一个公共点的双曲线e 且e的方程为 1 点a b分别在c的两条渐近线上 af x轴 ab ob bf oa o为坐标原点 1 求双曲线c的方程 2 过c上一点p x0 y0 y0 0 的直线l y0y 1与直线af相交于点m 与直线x 相交于点n 证明 当点p在c上移动时 恒为定值 并求此定值 3 1 2014江西 20 13分