高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课后习题 新人教A版必修4.doc

2.3.1平面向量基本定理一、a组1.设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有() a.e1,e2一定平行b.e1,e2的模相等c.同一平面内的任一向量a都有a=e1+e2(,r)d.若e1,e2不共线,则对同一平面内的任一向量a,存在,r,使得a=e1+e2解析:由平面向量基本定理知,d正确.答案:d2.已知向量a与b的夹角为3,则向量2a与-3b的夹角为()a.6b.3c.23d.56解析:a与2a同向,b与-3b反向,向量2a与-3b的夹角和a与b的夹角互补,向量2a与-3b的夹角为23.答案:c3.在矩形abcd中,o为对角线的交点,bc=5e1,dc=3e2,则oc=()a.12(5e1+3e2)b.12(5e1-3e2)c.12(3e2-5e1)d.12(5e2-3e1)解析:如图,oc=12ac=12(bc-ba)=12(bc-cd)=12(bc+dc)=12(5e1+3e2).答案:a4.若d点在abc的边bc上,且cd=4db=rab+sac,则3r+s的值为()a.165b.125c.85d.45解析:cd=4db=rab+sac,cd=45cb=45(ab-ac)=rab+sac,r=45,s=-45,3r+s=345-45=85.答案:c5.如图,平面内的两条相交直线op1和op2将该平面分割成四个部分,(不包含边界).设op=mop1+nop2,且点p落在第部分,则实数m,n满足()a.m0,n0b.m0,n0c.m0d.m0,n0;ob与op2方向相反,则n0.答案:b6.在等边三角形abc中,o为abc所在平面上一点,且2ao=ab+ac,则ao与bc的夹角为.解析:2ao=ab+ac,o为bc的中点.又abc为等边三角形,aobc,ao与bc的夹角为2.答案:27.已知向量a在基底e1,e2下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底e1+e2,e1-e2下可表示为a=(e1+e2)+(e1-e2),则=,=.解析:由条件可知+=2,-=3,解得=52,=-12.答案:52-128.导学号08720057设d,e分别是abc的边ab,bc上的点,ad=12ab,be=23bc,若de=1ab+2ac(1,2为实数),则1+2的值为.解析:如图,由题意知,d为ab的中点,be=23bc,de=db+be=12ab+23bc=12ab+23(ac-ab)=-16ab+23ac.1=-16,2=23.1+2=-16+23=12.答案:129.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(1)证明:假设a,b共线,则a=b(r),则e1-2e2=(e1+3e2).由e1,e2不共线,得=1,3=-2,即=1,=-23.所以不存在,故a,b不共线,即a,b可以作为一组基底.(2)解:设c=ma+nb(m,nr),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以3=m+n,-1=-2m+3n,解得m=2,n=1.故c=2a+b.10.如图所示,在abcd中,m,n分别是dc,bc的中点,已知am=c,an=d,试用c,d表示ab与ad.解:在amd中,ad=am+md=am-12dc=am-12ab=c-12ab;在abn中,ab=an+nb=an-12bc=an-12ad=d-12ad.则有ad+12ab=c,ab+12ad=d,两式联立ad+12ab=c,ab+12ad=d,解得ab=43d-23c,ad=43c-23d.二、b组1.已知在abcd中,dab=60,则ad与cd的夹角为()a.30b.60c.120d.150解析:如图,ad与cd的夹角为120.答案:c2.e1,e2为基底向量,已知向量ab=e1-ke2,cb=2e1-e2,cd=3e1-3e2,若a,b,d三点共线,则k的值是()a.2b.-3c.-2d.3解析:a,b,d三点共线,ab与bd共线.又ab=e1-ke2,bd=cd-cb=e1-2e2,e1-ke2=(e1-2e2),即=1,-k=-2.k=2.答案:a3.若op1=a,op2=b,p1p=pp2(-1),则op等于()a.a+bb.a+(1-)bc.a+bd.11+a+1+b解析:由p1p=pp2,得op-op1=(op2-op),化简得op=11+a+1+b(-1).答案:d4.如图,ab是o的直径,点c,d是半圆弧ab的两个三等分点,ab=a,ac=b,则ad=()a.a-12bb.12a-bc.a+12bd.12a+b解析:连接cd,od,点c,d是半圆弧ab的两个三等分点,ac=bd.cdab,cad=dab=30.oa=od,ado=dao=30,cad=ado=30.acdo.四边形acdo为平行四边形,ad=ao+ac.ao=12ab=12a,ac=b,ad=12a+b.故选d.答案:d5.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为.解析:由题意可画出图形,在oab中,oab=60,又|b|=2|a|,abo=30.boa=90,a与c的夹角为180-boa=90.答案:906.如图所示,在abc中,ab=2,bc=3,abc=60,ahbc于点h,m为ah的中点,若am=ab+bc,则+=.解析:因为ab=2,bc=3,abc=60,ahbc,所以bh=1,bh=13bc.因为点m为ah的中点,所以am=12ah=12(ab+bh)=12ab+13bc=12ab+16bc.所以=12,=16,故+=23.答案:237.过abc的重心g任作一直线分别交ab,ac于点m,n,且am=1ab,an=1ac(0),有人说无论m,n在ab,ac上如何变动,恒有+=3成立.你认为上述说法是否正确?请说明理由.解:题中说法是正确的.理由:事实上,不难证明ag=13(ab+ac),由于m,g,n三点共线,则存在实数m,满足ag=mam+(1-m)an,于是ag=mab+1-mac=13ab+13ac,即m=13,1-m=13,+=3.8.导学号08720058如图所示,omab,点p在由射线om、线段ob及ab的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且op=xoa+yob.(1)求x的取值范围.(2)当x=-12时,求y的取值范围.解:(1)因为op=xoa+yob,以oa的反向延长线和ob为两邻边作平行四边形,由向量加法的平行四边形法则可知op为此平行四边形的对角线,当op长度增大且靠近om时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(-,0).(2)如图所示,当x=-12时,在